lim(数学术语)

数学术语,表示极限(limit)。极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。在高等数学中,极限是一个重要的概念,极限可分为数列极限和函数极限。

来源

“极限”一词源于拉丁文“limes”,缩写为“lim”。1786年瑞士数学家鲁易理(Lhuillier)首次引入,后人不断完善,发展了长达122年之久,由英国数学家哈代(Haddy)的完善极限符号才成为今天通用的符号。

数列极限

设 {Xn} 为实数列,a 为定数.若对任给的正数 ε,总存在正整数N,使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a,定数 a 称为数列 {Xn} 的极限,并记作,或Xn→a(n→∞)

读作“当 n 趋于无穷大时,{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”。

若数列 {Xn} 没有极限,则称 {Xn} 不收敛,或称 {Xn} 为发散数列。

该定义常称为数列极限的 ε—N定义。

对于收敛数列有以下两个基本性质,即收敛数列的唯一性和有界性。

定理1:如果数列{Xn}收敛,则其极限是唯一的。

定理2:如果数列{Xn}收敛,则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……),总可以找到一个正数M,使|Xn|≤M。

对定义的理解:

1、ε的任意性 定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。ε越小,表示接近得越近;而正数ε可以任意地变小,说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是,尽管ε有其任意性,但一经给出,就被暂时地确定下来,以便靠它用函数规律来求出N;

又因为ε是任意小的正数,所以ε/2 、3ε 、ε等也都在任意小的正数范围,因此可用它们的数值近似代替ε。同时,正由于ε是任意小的正数,我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

2、N的相应性 一般来说,N随ε的变小而变大,因此常把N写作N(ε),以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的:(比如若n>N使成立,那么显然n>N+1、n>2N等也使成立)。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。

3、从几何意义上看,“当n>N时,均有不等式成立”意味着:所有下标大于N的都落在(a-ε,a+ε)内;而在(a-ε,a+ε)之外,数列{xn} 中的项至多只有N个(有限个)。换句话说,如果存在某ε0>0,使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0,a+ε0) 之外,则{xn} 一定不以a为极限。

性质

1、唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性:如果一个数列’收敛‘(有极限),那么这个数列一定有界。

但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛。例如数列 :“1,-1,1,-1,……,(-1)n+1”

3、与子列的关系:数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限;数列收敛的充要条件是:数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

单调收敛定理

单调有界数列必收敛

函数极限

设函数 在点 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数 (无论它多么小),总存在正数 ,使得当x满足不等式 时,对应的函数值 都满足不等式:

|f(x)-A|<ε,

则称函数f当x趋于x0时以A为极限,记作

lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)

该文章由作者:【月牙天冲】发布,本站仅提供存储、如有版权、错误、违法等相关信息请联系,本站会在1个工作日内进行整改,谢谢!

发表回复

登录后才能评论