文氏图(显示元素集合重叠区域的图示)

维恩图,也叫文氏图,用于显示元素集合重叠区域的图示。维恩图的历史:1880年,维恩(Venn)在《论命题和推理的图表化和机械化表现》一文中首次采用固定位置的交叉环形式用封闭曲线(内部区域)表示集合及其关系的图形。(Venn Diagram,也称韦恩图或维恩图)。

文氏图(显示元素集合重叠区域的图示)

例子

比如橙色的圆圈(集合A)可以表示两足的所有活物。蓝色的圆圈(集合B)可以表示会飞的所有活物。橙色和蓝色的圆圈交叠的区域(叫做交集)包含会飞且两足的所有活物-比如鹦鹉。(把每个单独的活物类型想象为在这个图中的某个点)。

人和企鹅可以在橙色圆圈中不与蓝色圆圈交叠的部分中。蚊子有六足并且会飞,所以蚊子的点可以在蓝色圆圈中不与橙色圆圈交叠的部分中。不是两足并且不会飞的东西(比如鲸和响尾蛇)可以表示为在这两个圆圈之外的点。在技术上,上面的文氏图可以解释为"集合A和集合B之间的联系,它们可以有一些(但不是全部)元素是公共的"。

集合A和B的组合区域叫做集合A和B的并集。在这个个例中并集包含要么两足、要么会飞、要么两足并且会飞的所有东西。圆圈交叠暗示着两个集合的交集非空-就是说在事实上有活物同时在橙色和蓝色圆圈中。

有时在文氏图在外面绘制一个方框(叫做全集)来展示所有可能事物的空间。如上提及到的,鲸可以表示为不在并集中但在(活物或所有事物,依赖于你如何选择对特定图的全集的定义)全集中一个点。

注︰也可用于有a.b.c.3个单位的三元容斥。

类似的图

Johnston图和欧拉图可能在外观上同文氏图是一致的。它们之间的任何区别都在它们的应用领域中,就是说在被分割的全集的类型中。Johnston图特别适用于命题逻辑的真值,而欧拉图展示对象的特定集合,文氏图的概念更一般的适用于可能的联系。

文氏图和欧拉图没有合并的原因好像是欧拉的版本是早在100多年前就出现了的,欧拉已经有了足够多的成就了,而Venn只留下了这么一个图。

在欧拉图和文氏图之间的区别只是在想法上,欧拉图要展示特定集合之间的联系,而文氏图要包含所有可能的组合。

下面是欧拉图的一个例子:集合A、B和C,在这个例子中,一个集合完全在另一个集合内部。我们说集合A是在世界中能找到的所有的不同类型的奶酪,集合B是在世界中能找到的所有食物。从这个图中,你可以看出所有奶酪都是食物,但是不是所有食物都是奶酪。

进一步的说,集合C(比如说金属造物)与集合B没有公共元素(集合的成员),从此我们可以在逻辑上断言没有奶酪是金属造物(或者反过来说)。在形式上,上述的图可以在数学上解释为"集合A是集合B的真子集,而集合C和集合B没有公共元素"。

起源

John Venn是十九世纪英国的哲学家和数学家,他在1881年发明了文氏图。

在剑桥大学的Caius学院的彩色玻璃窗上有对他的这个发明的纪念。

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