十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。而由二进制数转换成十进制数是把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和，这种做法称为“按权相加”法。

数制简介

二进制

20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，其运算模式正是二进制，二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统。

十进制

十进制计数法是相对二进制计数法而言的,是我们日常使用最多的计数方法（俗称“逢十进一”）,它的定义是:“每相邻的两个计数单位之间的进率都是十”的计数方法,叫做“十进制计数法”。

二进制转十进制

方法一

小数点前或者整数要从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方并递增,小数点后则是从左往右乘以二的相应负次方并递减。

例如：二进制数1101.01转化成十进制

1101.01（2）=1*20+0*21+1*22+1*23 +0*2-1+1*2-2=1+0+4+8+0+0.25=13.25（10）

所以总结起来通用公式为：

abcd.efg(2)=d*20+c*21+b*22+a*23+e*2-1+f*2-2+g*2-3（10）

方法二

或者用下面这种方法：

把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。

2的0次方是1（任何数的0次方都是1，0的0次方无意义）

2的1次方是2

2的2次方是4

2的3次方是8

2的4次方是16

2的5次方是32

2的6次方是64

2的7次方是128

2的8次方是256

2的9次方是512

2的10次方是1024

2的11次方是2048

2的12次方是4096

2的13次方是8192

2的14次方是16384

2的15次方是32768

2的16次方是65536

2的17次方是131072

2的18次方是262144

2的19次方是524288

2的20次方是1048576

此时，1101=8+4+0+1=13

再比如：二进制数100011转成十进制数可以看作这样：

数字中共有三个1 即第六位一个，第二位一个，第一位一个（从右到左），然后对应十进制数即2的0次方+2的1次方+2的5次方， 即

100011=32+0+0+0+2+1=35

十进制转二进制

1.十进制整数转换为二进制整数

十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

十进制整数转二进制

如：255=（11111111）B

255/2=127=====余1

127/2=63======余1

63/2=31=======余1

31/2=15=======余1

15/2=7========余1

7/2=3=========余1

3/2=1=========余1

1/2=0=========余1

789=1100010101(B)

789/2=394余1第10位

394/2=197余0第9位

197/2=98余1第8位

98/2=49余0第7位

49/2=24余1第6位

24/2=12余0第5位

12/2=6余0第4位

6/2=3余0第3位

3/2=1余1第2位

1/2得0余1第1位

原理：

众所周知，二进制的基数为2，我们十进制化二进制时所除的2就是它的基数。谈到它的原理，就不得不说说关于位权的概念。某进制计数制中各位数字符号所表示的数值表示该数字符号值乘以一个与数字符号有关的常数，该常数称为“位权”。位权的大小是以基数为底，数字符号所处的位置的序号为指数的整数次幂。十进制数的百位、十位、个位、十分位的权分别是10的2次方、10的1次方、10的0次方，10的-1次方。二进制数就是2的n次幂。

按权展开求和正是非十进制化十进制的方法。

下面我们开讲原理，举个十进制整数转换为二进制整数的例子，假设十进制整数A化得的二进制数为edcba的形式，那么用上面的方法按权展开，得：

A=a(2^0)+b(2^1)+c(2^2)+d(2^3)+e(2^4)（后面的和不正是化十进制的过程吗）

假设该数未转化为二进制,除以基数2得：

A/2=a(2^0)/2+b(2^1)/2+c(2^2)/2+d(2^3)/2+e(2^4)/2

注意：a不能整除2，但其他的能整除，因为他们都包含2，而a乘的是1，他本身绝对不包含因数2，只能余下。

商得：b(2^0)+c(2^1)+d(2^2)+e(2^3)，再除以基数2余下了b，以此类推。

当这个数不能再被2除时，先余掉的a位数在原数低，而后来的余数数位高，所以要把所有的余数反过来写。正好是edcba

2．十进制小数转换为二进制小数

十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

十进制小数转二进制0.625=（0.101）B

0.625*2=1.25======取出整数部分1

0.25*2=0.5========取出整数部分0

0.5*2=1==========取出整数部分1

0.7=（0.101100110）B

0.7*2=1.4========取出整数部分1

0.4*2=0.8========取出整数部分0

0.8*2=1.6========取出整数部分1

0.6*2=1.2========取出整数部分1

0.2*2=0.4========取出整数部分0

0.4*2=0.8========取出整数部分0

0.8*2=1.6========取出整数部分1

0.6*2=1.2========取出整数部分1

0.2*2=0.4========取出整数部分0

原理：

关于十进制小数转换为二进制小数

假设一十进制小数B化为了二进制小数0.ab的形式，同样按权展开，得B=a(2^-1)+b(2^-2)

因为小数部分的位权是负次幂，所以我们只能乘2，得2B=a+b（2^-1)

注意a变成了整数部分，我们取整数正好是取到了a，剩下的小数部分也如此。

值得一提的是，小数部分的按权展开的数位顺数正好和整数部分相反，所以不必反向取余数了。