和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

和差化积公式

公式

即三角函数中的一组恒等式：

推导过程

对于（1）至（4），可以用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。

由和角公式有：

，

。

两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。

对于（5）、（6），有：

对于（7）、（8）、（9）、（10），也可用类似的方法推出。

证毕。

平方形式的和差化积公式

下面不加推导地给出几个公式。对于正余弦平方的减法，同样有和差化积公式：

记忆方法

只记两个公式甚至一个

可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

第二个公式中的 ，即 ，这就可以用第一个公式。

同理，第四个公式中， ，这就可以用第三个公式解决。

如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把余弦全部转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。

用的时候想得起一两个就行了。

结果乘以2

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2] ，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

故最后需要乘以2。

只有同名三角函数能和差化积

无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以2

在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β，这两个角应该是 和 ，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。

使用哪两种三角函数的积

这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”（α-β）/的三角函数名。

是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

 的三角函数名规律为：和化为积时，以 的形式出现；反之，以 的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把 替换为 ，结果应当是一样的，从而 的形式是 ；另一种情况可以类似说明。

余弦·余弦差公式中的顺序相反与负号

这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如 内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α >β 时， 小于 。但是这时对应的 和 在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把 放到 前面，要么就在式子的最前面加上负号。

记忆口诀

（一）

正加正，正在前，

余加余，余并肩。

正减正，余在前，

余减余，负正弦。

（反之亦然）

（二）

帅+帅=帅哥，

帅-帅=哥帅，

哥+哥=哥哥，

哥-哥=负嫂嫂。

（反之亦然）

（三）

口口之和仍口口，

赛赛之和赛口留，

口口之差负赛赛，

赛赛之差口赛收。

（四）

正和正在先，

正差正后迁，

余和一色余，

余差翻了天。

（五）

正弦加正弦，正弦在前面，

正弦减正弦，余弦在前面，

余弦加余弦，余弦全部见，

余弦减余弦，负正弦来见。

（前提是角度 在前， 在后的标准形式）

（六）

和差化积：

同名和差三角积，（ 或 ：等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。）

左是 和 ，（ ：等式左边是先 后 ）

右是两角和与差。（ 和 ：等式右边是 和 ）

双正S SC，（ ：“正”表示两个正弦中间的“+”，

即 ）

双负SCS，（ ：“负”表示两个正弦中间的“-”，

即 ）

双正C对正双C，（ ：“正”表示两余弦中间的“+”，

即 ）

双负C对负S。（ ：“负”表示两余弦中间的“-”，

即 ）

（七）

和差化积二倍半，和前函数名不变；余弦稳正弦跳，余弦相减取负号。

例题

已知，且，求的值

解：将已知条件编号

 ①

 ②

①的平方+②的平方，得：

所以：

则：

计算可得：

①×②，得

所以

则

则

运用和差化积公式：

上式可变为：

所以

将代入，