等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意：以上n均属于正整数。

一般定义

扩展:多项式数列

凯森和

多项式数列高阶和

凯森和可以如下表示

结论

首项：a1=[（2Sn/n）-an]/末项-(项数-1)×公差

末项：an=（2Sn/n）-a1

通项公式：an=a1+（n-1）d

项数：n=[（an-a1）/d]+1

公差：d=（an-a1）/（n-1）

如：数列1，3，5，7，…，97，99，公差就是d=3-1=2，将a1推广到an，则为：d=a2-a1

a1，a2，a3，…，an，n=奇数，Sn=（a（（n-1）/2)）*((n-1）/2)

根据等差数列的基本性质有：首项+尾项=第二项+倒数第二项=第三项+倒数第三项….，所以(首项+尾项)的平均数可以代表整个数列的平均数，那么可以得到以下结论：

当数列为奇数项时：Sn=中间一项×项数；当数列为偶数项时：Sn=中间两项和×项数的一半。

特殊性质

1.在数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，则有：

①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq

②若m+n=2q，则am+an=2aq

2.在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。

求和公式（字母）

设首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，前项和为Sn，则有：

①Sn=（（a1+an）n）/2，n∈N*；

②Sn=na1+（（n（n-1））/2）d，n∈N*

③Sn=（（2a1+（n-1）d）n）/2，n∈N*

④Sn=An2+Bn，n∈N*，其中A=d/2,B=a1-d/2

当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数的图象上一群孤立的点，利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。

求和推导

证明：由题意得：

Sn=a1+a2+a3+……+an①

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+…+a1②

①+②得：

2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+…+[a1+an](当n为偶数时)

Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+…+[a1+an]}/2

Sn=n（a1+an）/2，(a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An）

求和公式（文字）

和=（首项+末项）×项数÷2

和=首项*项数+【项数（项数-1）*公差】/2

和={【首项*项数+（项数-1）*公差】项数}/2