卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。卷积定理指出，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

发展简史

卷积背景及原理

卷积操作历史上来发展于信号处理领域，在信号处理中原始信号通常会被混入噪音，假设传感器在每个时刻会输出一个信号，这个信号通常混入了一些噪声，我们可以通过过个测量点进行加权平均来抵消掉噪声，并且离当前时间点越近的测量点权重应该越高，我们可以用下面的公式表示

上式中是一个权重函数，参数是时间点距离当前时间的距离，输出时间点测量的权重；是信号测量函数。在这个例子中，的采样是离散的，因此采用了加和的形式，同时还应该是一个概率密度函数，因为在这个例子中表示了一种权重。下图就是这个例子的可视化，灰色是，红色的部分就是经过翻转的，绿色部分是生成的。

这个例子实际上就是卷积操作的一种特例，进一步扩展成连续函数，并且对函数没有限制，我们就得到了卷积操作的定义。根据维基百科定义，卷积运算（Convolution）是一种通过两个函数和生成第三个函数的一种数学算子，公式表示如下。通常将函数称为输入（input），函数称为卷积核（kernel），函数称为特征图谱（featuremap）

我们考虑离散多维卷积的情况，这个也是深度学习领域最常见的情况，即输入是一个多维数组，卷积核也是一个多维的数组，时间上是离散的，因此无限的积分变成有限的数组有限元素的加和：

上式表明的操作在直观上理解是先对卷积核翻转，然后与输入点乘、求和得到输出。在机器学习领域尤其是深度学习中，卷积的实现通常省去了卷积核翻转这一步，因为深度学习中的卷积核参数是不断学习更新，因此有没有翻转并没有性质上的影响。严格定义上说，深度学习中的卷积实际上是另一种操作：互相关Cross-Correlation。公式表示如下

将严格意义上的互相关和卷积都称作卷积。

定理定义

在泛函分析中，卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是通过两个函数和生成第三个函数的一种数学算子，表征函数和经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

设两函数为，，为维向量，则与卷积定义为：

特别地，在一维情况下：

在二维情况下：

在三维情况下：

相关公式

验证推导

证明卷积定理前，先对证明中用到的性质进行简单介绍。

傅立叶变换的时移性质。该性质表述为：设为实常数，若，则

傅立叶变换的时移性质表明当一个信号沿时间轴平移后，各频率成份的大小不发生改变，但相位发生变化。该性质可以由傅立叶变换的定义进行证明：

令，则有

另外，由富比尼定理可知，积分区域连续的前提下，二重积分的积分次序可以交换。

下面对时域卷积定理和频域卷积定理进行推导证明。

这里展示的证明是基于傅立叶变换的特定形式。如果傅里叶变换的形式不同，则推导中将会增加一些常数因子。令属于。的傅里叶变换，的傅里叶变换：

其中之间的点表示上的内积。

定理推广

卷积定理的应用在很多涉及积分变换、积分方程的文章中都有所体现。常见的一些重要的积分变换，例如：Mellin变换、Laplace变换、Fourier变换等都具有所谓的卷积性质（ConvolutionProperty）。这里要注意的是，针对不同的积分变换，卷积性质的形式不是完全相同的，只要一些基本的结构得到保留就可以了。

卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

采样率，是地震数据处理中的一个重要参数。在反褶积时采样率依赖原始地震数据的采样率,采样率越小,反褶积效果的精度就越高,但野外采集花费的成本和室内数据处理所用的时间也越多,而采样率越大,虽能节约成本和提高效率,但反褶积效果的精度会变低。此外,信号的频谱在理论上是无限宽的,采样将丢失一部分信息,这就可能会对反褶积效果造成影响。针对以上问题,本文基于采样定理研究采样率对反褶积效果的影响,通过对地震数据重采样,对重采样后的地震数据进行Gabor反褶积处理。数值模拟和实际资料结果表明:在遵循采样定理的情况下,大采样率的反褶积效果无法识别薄层;从反褶积效果的精度和地震资料处理效率来看,存在一个最优采样率,既能保证反褶积效果的精度,又能提高工作效率。 

针对奇、偶信号的去噪问题,提出了一种基于线性正则正（余）弦变换卷积定理的乘性滤波器设计方法。在现有线性正则变换域卷积理论的基础上,研究了两类线性正则正（余）弦变换卷积定理,利用所得卷积定理,通过合理选择滤波函数,设计了一类基于卷积定理的线性正则正（余）弦变换域带限信号的乘性滤波模型,并对算法的复杂度进行分析。研究表明,这种滤波模型特别适合处理奇、偶信号,并能有效降低乘积滤波的计算复杂度,提高运算效率。 

滤波器，分为数字滤波器和模拟滤波器,数字滤波器是指输入、输出均为数字信号,且通过数值运算处理滤除指定成分的数字器件或程序。时域卷积定理表明两序列卷积的服从相乘的运算关系,对于线性时不变系统,输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT。从滤波器的角度来理解卷积运算是最容易、最快捷的方式。