整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。在大学之前，所指的一般都是正约数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数。一个数的约数是有限的。

约数

定义

整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。在大学之前，所指的一般都是正约数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数。一个数的约数是有限的。

范例

在自然数（0和正整数）的范围内，

4的约数有：1、2、4。

6的约数有：1、2、3、6。

10的约数有：1、2、5、10。

12的约数有：1、2、3、4、6、12。

15的约数有：1、3、5、15。

18的约数有：1、2、3、6、9、18。

20的约数有：1、2、4、5、10、20。

注意：一个数的约数包括1及其本身。

例如：能整除24的有：1、2、3、4、6、8、12、24。

所以24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24。

最大公因数

公因数

如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。可以表示为(a，b)=c。

最大公因数

两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

最大公因数的求法

1、枚举法将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

例：求30与24的最大公因数。

30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30

24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24

易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。

2、短除法短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可）

例：求12和18的最大公约数。

解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6.。

3、分解质因数

将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。

例：求48和36的最大公因数。

把48和36分别分解质因数：

48=2×2×2×2×3

36=2×2×3×3

其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是2×2×3=12。

4、辗转相除法（欧几里得算法）对要求最大公因数的两个数a、b，设b

这一算法的证明如下：

设两数为a、b

令c=gcd(a，b），则设a=mc，b=nc，根据前提有r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c

由上，可知c也是r的因数，故可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】

所以gcd(b，r)=c，继而gcd(a，b)=gcd(b，r）。

例：求8251和6105的最大公因数。

考虑用较大数减较小数，求得商和余数：

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4

最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。

因数

5、更相减损术更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言就是

第一步：任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最大公约数。

例：求98与63的最大公因数。

分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数为7。

注：以上1、2、3同样适用于求多个自然数的最大公约数。

求约数个数的公式

一般地，对自然数n进行分解质因数，设n可以分解为

n=p⑴^α⑴·p⑵^α*⑵·…·p(k)^α（k)

其中p⑴、p⑵、…p(k）是不同的质数，α⑴、α⑵、…α（k）是正整数，则形如

n=p⑴^β⑴·p⑵^β*⑵·…·p(k)^β（k)

的数都是n的约数，其中β⑴可取a⑴+1个值：0，1，2，…，α⑴；β⑵可取α⑵+1个值：0，1，2，…，α⑵…；β（k）可取a(k)+1个值：0，1，2，…，α（k).且n的约数也都是上述形式，根据乘法原理，n的约数共有

（α⑴+1）（α⑵+1）…（α（k)+1）⑺

个。

式⑺即为求一个数约数个数的公式。

负约数

定义

国内课本中，最先提到约数这个概念是在小学，而此时还没学负数。

等到学了负数，一般要直到大学数学系“初等数论”中才严格定义约数，那个时候就包括负约数了。

如果d|a并且d≥0，则我们说d是a的约数。注意，d|a当且仅当（-d)|a，因此定义约数为非负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。

例题

105的负约数的和是多少？

105的所有负约数就是105的所有正约数的相反数所组成的集合。

105的正约数有1，3，5，7，15，21，35，105

105的负约数有-1，-3，-5，-7，-15，-21，-35，-105

其和为-（1+3+5+7+15+21+35+105）=﹣192

整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。在大学之前，所指的一般都是正约数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数。一个数的约数是有限的。

约数

定义

整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。在大学之前，所指的一般都是正约数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数。一个数的约数是有限的。

范例

在自然数（0和正整数）的范围内，

4的约数有：1、2、4。

6的约数有：1、2、3、6。

10的约数有：1、2、5、10。

12的约数有：1、2、3、4、6、12。

15的约数有：1、3、5、15。

18的约数有：1、2、3、6、9、18。

20的约数有：1、2、4、5、10、20。

注意：一个数的约数包括1及其本身。

例如：能整除24的有：1、2、3、4、6、8、12、24。

所以24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24。

最大公因数

公因数

如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。可以表示为(a，b)=c。

最大公因数

两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

最大公因数的求法

1、枚举法将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

例：求30与24的最大公因数。

30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30

24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24

易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。

2、短除法短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可）

例：求12和18的最大公约数。

解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6.。

3、分解质因数

将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。

例：求48和36的最大公因数。

把48和36分别分解质因数：

48=2×2×2×2×3

36=2×2×3×3

其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是2×2×3=12。

4、辗转相除法（欧几里得算法）对要求最大公因数的两个数a、b，设b

这一算法的证明如下：

设两数为a、b

令c=gcd(a，b），则设a=mc，b=nc，根据前提有r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c

由上，可知c也是r的因数，故可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】

所以gcd(b，r)=c，继而gcd(a，b)=gcd(b，r）。

例：求8251和6105的最大公因数。

考虑用较大数减较小数，求得商和余数：

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4

最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。

因数

5、更相减损术更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言就是

第一步：任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最大公约数。

例：求98与63的最大公因数。

分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数为7。

注：以上1、2、3同样适用于求多个自然数的最大公约数。

求约数个数的公式

一般地，对自然数n进行分解质因数，设n可以分解为

n=p⑴^α⑴·p⑵^α*⑵·…·p(k)^α（k)

其中p⑴、p⑵、…p(k）是不同的质数，α⑴、α⑵、…α（k）是正整数，则形如

n=p⑴^β⑴·p⑵^β*⑵·…·p(k)^β（k)

的数都是n的约数，其中β⑴可取a⑴+1个值：0，1，2，…，α⑴；β⑵可取α⑵+1个值：0，1，2，…，α⑵…；β（k）可取a(k)+1个值：0，1，2，…，α（k).且n的约数也都是上述形式，根据乘法原理，n的约数共有

（α⑴+1）（α⑵+1）…（α（k)+1）⑺

个。

式⑺即为求一个数约数个数的公式。

负约数

定义

国内课本中，最先提到约数这个概念是在小学，而此时还没学负数。

等到学了负数，一般要直到大学数学系“初等数论”中才严格定义约数，那个时候就包括负约数了。

如果d|a并且d≥0，则我们说d是a的约数。注意，d|a当且仅当（-d)|a，因此定义约数为非负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。

例题

105的负约数的和是多少？

105的所有负约数就是105的所有正约数的相反数所组成的集合。

105的正约数有1，3，5，7，15，21，35，105

105的负约数有-1，-3，-5，-7，-15，-21，-35，-105

其和为-（1+3+5+7+15+21+35+105）=﹣192