自然数即用以计量事物的件数或表示事物次序的数，是用数字0，1，2，3，4，……所表示的数。我们常用的计数单位有：个、十、百、千、万、十万等等。自然数由0开始，一个接一个，组成了自然数集。这是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。自然数在日常生活中起了很大的作用，在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。

定义

非负整数，（教科书上的概念）是正 整数和 零，也叫做自然数。正整数例如：1，2，3，4．．．．．像这样的数就是正整数。 非负整数不仅只有正整数，还有零。

这名词在使用初期，也有人以为是“非负”是“真实”(faith)的翻译，后来在 四川师范大学的一名研究生，在论证此问题时，发明了现在所谓的“非负整数”之概念，至今，这范围仍在进行学术探讨中。

一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）。

另外现在有些数学家认为“非负整数”应理解为不是负整数的数，即负分数、0、正数（这个会比较准确）

标准

在中国，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。

国际标准ISO 31-11:1992《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被ISO/IEC 80000-2取代[10]）中，从集合论角度规定：符号所表示的自然数集是包括正整数和0。新修订的ISO/IEC 80000-2也规定：符号N或ℕ所表示的自然数集包括正整数和0。

中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》（GB 3102.11-93）参照国际标准ISO 31-11:1992规定[11]：表示“非负整数集；自然数集”，={0,1,2,3,…}。而正整数集应上标星号或下标加号，记作或。[12]

符号

数学家们使用 N 或来表示所有自然数的集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：

N+ 或 N* 或

Z+ 或

而非负整数集合一般如下表示：

N0 或

或

集合论者也通常把包括0的自然数集记作希腊字母的ω（小写的欧米伽），因为第一个无穷序数便是ω。

不同理论之经典

“非”负整数

首先问问大家什么是非负整数？这是初一的问题，很简单就是指0或大于0的整数，例如：2、58、34、10……

在这里问大家一个问题：-2.5是否为非负整数？教科书的答案当然是：不是。但有的答案却是：是。

因为“非负整数”从语文角度考虑：非即不是，非负整数即不是负整数的数。那么-2.5即为非负整数，那-2.5不是负整数！你会说-2.5、-3.56、-1.234……是负整数吗？当然不会，你会大声说：“它们不是负整数。”对了，它们都不是负整数，不是负整数即非负整数啊，换句话说-2.5等都是非负整数（0、1、23、45……等非负数大家公认，不予分析，非正整数大致也如此，不再分析）。

但是，为什么大家或是说老师都说不是呢？首先，是老师先入为主的思想禁锢了大家的思想，二是“非负整数”给大多数人的第一印象是：非负的整数，即满足两个条件：一是不是负数，二是整数。因此，-2.5当然不是非负整数。这便是把“非负”看作一个整体，把“整数”看作一个整体，用“的”连接。而也可把“非”看作一个整体，“负整数”看作一个整体，再把“非”用“不是”代替。这是两种不同的考虑问题的方式。

有人说这是“白马非马”，但我觉得不然，“白马非马”的理论之所以错是因为马也有白的，可是-2.5真的不是负整数！

非负整数即非负的整数

非负整数即非负的整数,而不是什么非"负整数",非负是定语,整数是主语,这样才是一个概念.如果非要扯成非"负整数",这是一个非是谓语,负整数是宾语的缺少主语的半个句子,是不应该用来作为一个概念的.

要击破上面这个瞎扯的偷梁换柱的曲解其实很简单,爸爸妈妈是非负整数吗?你会说爸爸妈妈是负整数吗?当然不会,你会大声说:"他们不是负整数."对了,他们不是负整数,不是负整数即非负整数啊,换句话说,爸爸妈妈爷爷奶奶等都是非负整数.看到这里你作何感想?

非负整数即非负的整数,首先要满足整数的大前提,才能用上非负的定语去细分区别,爸爸妈妈连整数都不是,当然也就不能去判断是否非负整数了

性质

运算

对自然数可以递归定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：

a + 0 = a；

a + S(x) = S(a+x)， 其中，S(x)表示x的后继者。

如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

如此，便可得出交换幺半群(N,+)，是由1生出的自由幺半群，其中幺元为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，乘法运算“×”定义为：

a × 0 = 0；

a × S(b) = a × b + a

带馀除法

对于两个自然数a,b，不一定有自然数c使得。所以若用乘法的逆来定义除法，这个除法不能成为一个二元运算（即不符合封闭性，即使不允许除以0）。但我们可以用带余除法作为替代。

现设a,b为自然数，，则有自然数q和r使得a=bq+r且r<b。这里的q称为a除以b的商，r称为a除以b的余数。数对(q,r)是被a,b所唯一决定的。

一个例子是，也就是。这里a=62，b=7，q=8，r=6。

带余除法在数论中有不少用途，比如说辗转相除法的基本步骤就是带余除法。

序

我们说当且仅当有自然数使得。当而a不等于b时，记作a<b。

二元关系在自然数集上符合：

自反性：若a是自然数，则；

反对称性：设a,b是自然数。若且，则a=b；

传递性：设a,b,c都是自然数。若且，则；

完全性：对于任意两个自然数a,b，有且只有下列两种关系之一：或。

（或者等价的三分性：a<b，a=b，或a>b）

因为符合以上的四种性质，所以是一全序。

事实上，是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此亦是最小数原理的陈述。

此序也和加法及乘法兼容，即若a,b,c都是自然数且，则及。

无限性

自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。

对于无限集合来说，“元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，现推广到无限集合，即如果两个无限集合之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合等势，或者说，这两个集合的基数相同。自然数集的基数是阿列夫零，记作。

与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可能与自身的真子集有一一对应的关系，例如:

0 1 2 3 4 … （自然数集）

↕ ↕ ↕ ↕ ↕

1 3 5 7 9 …（奇数组成的集合）

这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。

和自然数集等势的集合有：

由自然数的有限序列组成的集合

整数集

有理数集

代数数集

可数个可数集合的并集

自然数集的势严格小於实数集的势，即两者间不能建立一一对应（详见对角论证法）。事实上，实数集的势是，即自然数集的幂集的势。

分类

奇偶性

可分为奇数和偶数。

1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

2、偶数：能被2整除的数叫偶数。

也就是说，一个自然数要麽是奇数，要麽就是偶数。

注：0是偶数。

因数个数

可分为质数、合数、1和0。

1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。

2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

3、1：只有1个因数，就是它自身。它既不是质数也不是合数。

4、0和1一样，既不是质数也不是合数。

自然数列

数列 1,2,3,4,5,…n,… 称为自然数列（OEIS中的数列A000027）。自然数列不包括0。

自然数列的通项公式an=n。

自然数列的前n项和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2

自然数列本质上是一个等差数列，首项a1=1，公差d=1。

严格定义

戴德金-皮亚诺结构

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X, x, f）：

X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。

x不在f的值域内。（对应上面"定义"一节的公理4）

f为一单射。（对应上面的公理3）

若A为X的子集并满足：

x属于A；

若a属于A，则f（a）亦属于A

则A = X。

集合论形式的构造

一个标准的构造方法如下：

定义，代表空集。

然后对于任何集合a，设。S(a)称为a的後继，S相当于後继函数。

根据无穷性公理，自然数集存在。考虑所有包含0且在S之下封闭的集合，然後取它们的交集就得到了自然数集。可以验证这些集合是符合皮亚诺公理的。

如此，每个自然数都等同于由所有更小的自然数所组成的集合，即

在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。

所有自然数之和

如果我们考虑无穷级数，将其（不正式地）视为数列中所有项的和，在这种意义下我们可以说所有自然数的和是正无穷大，或记作1+2+3+4+…=+∞。（这是因为给定任意大的正数M，均存在某部分和，使其值大于M。）

但在弦论的某些结果中，1+2+3+4+5+6+7…=-1/12一式确实是有意义的。

在说明箇中原因前，我们可透过以下演示来"理解"为何这个和值会是-1/12。

首先我们需要一个等式：S1=1-1+1-1+1-1+1…=0.5

我们用：1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1…)

=1-1+1-1+1-1+1…

=S1

所以得到：2S1=1，即S1=0.5

所以1-1+1-1+1-1+1…=0.5

还需要另外一个等式：S2=1-2+3-4+5-6…=0.25

我们用2S2=S2+S2=(1-2+3-4+5-6…)+(1-2+3+4+5-6…)

我们错开一位来计算，得2S2=1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+…，所以2S2=1-1+1-1+1-1+1…

我们又回到了前面的一个等式，所以2S2=0.5

S2=0.25

下面我们只需要用S-S2=(1+2+3+4+5+6+7…)-(1-2+3-4+5-6+…)

=4+8+12…

我们提一个4出来令S-S2=4(1+2+3…)=4S

所以S-0.25=4S

-0.25=3S

S=-1/12

以上的演示固然是不严谨的。但是，所得的值却是有意义的。事实上，我们可以用别的形式去得出该级数的一个广义和，比如透过拉马努金求和得出-1/12，也可以借用黎曼ζ函数，在s = −1 时由 ζ(s) 的解析连续得出-1/12。