在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

发展简史

欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。

他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。

他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。

在数论里他引入了欧拉函数。

自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如，，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。

在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。

在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。

他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：

其中是黎曼函数。

欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。

在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公'”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）：

在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数：

他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。

在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。

一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。

在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。

在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：:

其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。

这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形，则：:其中χ为此流形的欧拉特征值，在流形的连续变形下是不变量。

单联通流形，例如球面或平面，的欧拉特征值是2。

对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：，其中为图中连通分支数。

在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。

数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行

最有影响的100人–欧拉

定理定义

欧拉定律是数学上的一个定律。一方面，边际生产力理论使用欧拉定律的特殊形式来论证自己的内容，试图证明自身的完善性；另一方面，一些西方学者则使用欧拉定律来诘难边际生产力理论。正是欧拉定理所形成的洁难证明了边际生产力理论是不能成立的。

验证推导

“欧拉定律”是说明齐次函数的一个性质的数学定律。因此，我们首先需要说明齐次函数。 

（一）齐次函数用

表示一个函数。如果这个函数恒等地满足下列关系式

则将这个函数称为  次齐次函数。当 时，则将这个函数称为一次齐次函数，也称为线性齐次函数。对于一次齐次函数有关系式

存在。一次齐次函数是齐次函数的特殊形式。

（二）欧拉定律对于 次齐次函数

只要它可微，就有

关系式存在。齐次函数的这个性质称为欧拉定律。这是欧拉定律的一般形式。对于一次齐次函数，由于，根据欧拉定律，有 

关系式存在。这是当函数为一次齐次函数时欧拉定律的特殊形式。

定理推广

笔画不仅存在于图画游戏中，在现实生活中也是处处可见的。例如，假期你来到了某个从未到过的城市，总希望有机会能把城市里几条最繁华的街道都逛上一遍。或者某几个星期，你来到一个幽静的公园，见到那明镜般的湖面分布着几个小岛，湖岸和它们之间有几座玲珑的小桥，你也许会游兴大发，想试试能否从一处出发，把湖 上所有的小桥都不重复地走过一遍，后回到原出发地，这些问题都可以化归为一笔画问题，涉及到了欧拉定理的应用。

定理意义

1.数学规律:公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

2.思想方法创新:定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸;方法上将底面剪掉，化为平面图形(立体图→平面拉开图)。

3.引入拓扑学:从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

定理引导我们进入一个新几何学领域:拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。