在数学中，数量积(dot product；scalar product，也称为点积、点乘)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a=[a1，a2，…，an]和b=[b1，b2，…，bn]的点积定为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。

简述

u的大小、v的大小、u，v夹角的余弦。在u，v非零的前提下，点积如果为负，则u，v形成的角大于90度；如果为零，那么u，v垂直；如果为正，那么u，v形成的角为锐角。

两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。

向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。

运算律

1、交换律：α·β=β·α2、分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ3、若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)4、α·α=|α|²，此外：α·α=0〈=〉α=0。向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0≠〉β=γ。向量的数量积不满足结合律，即一般(α·β)·γ≠〉α·(β·γ)相互垂直的两向量数量积为0

表示

已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

应用

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明：

(1)勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2。

∵AB=CB-CA

∴AB·AB=(CB-CA)·(CB-CA)=CB·CB-2CA·CB+CA·CA

又∵∠C=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0

∴AB·AB=AC·AC+CB·CB

(2)菱形对角线相互垂直：菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD。

设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

∵AC=(AB+BC)cosα，BD=(BC+CD)cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)cosα·(BC+CD)cos(π-α)=a^2(cosα+cos(π-α)+1-1)

又∵cosα=-cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)cosα·(BC+CD)cos(π-α)=a^2(cosα+cos(π-α)+1-1)=0

∴AC⊥BD

在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越。物理中，点积可以用来计算合力和功。

若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。

线性变换中点积的意义：

根据点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F(a·b)则可以构建一个基于a·b+c=0(c为偏移)的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。

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