在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：

1.|ab|=|a||b|

2.|a|<|b|可逆|b|>|a|

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。

另外有：|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

几何意义

1、当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。 [2] 

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

应用

解不等式|x-x²-2|>x²-3x-4

解∵|x-x²-2|=|x²-x+2|

而x²-x+2=(x-1/4)²+7/4>0

所以|x-x²-2|中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x²-x+2>x²-3x-4

解得：x>-3

∴原不等式解集为{x>-3}

相关公式

绝对值重要不等式推导过程

我们知道

|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);

因此，有：

-|a|≤a≤|a|……①

-|b|≤b≤|b|……②

-|b|≤-b≤|b|……③

由①+②得：

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即|a+b|≤|a|+|b|……④

由①+③得：

-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|

即|a-b|≤|a|+|b|……⑤

另：

|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|

|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|

由④知：

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|…….⑥

|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|…….⑦

|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|…….⑧

|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|…….⑨

由⑥，⑦得：

||a|-|b||≤|a+b|……⑩

由⑧，⑨得：

||a|-|b||≤|a-b|……⑪

综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值(absolutevalue)的重要不等式

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：

|a-b|=|a|+|b|→ab≤0

|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0

|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0

同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

解法

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。

以下，具体说说绝对值不等式的解法：

其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！

其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！

说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

其三为数形结合法，即在数轴上将各点画出，将数转换为长度的概念求解。

解法

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值的符号。

而去掉绝对值符号的基本方法有二：其一为平方，其二为讨论。所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2;=9，绝对值符号没有了！所谓讨论，即x≥0时，|x|=x；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！以下，具体说说绝对值不等式的解法。首先说“平方法”。

不等式两边可不可以同时平方，一般来说，有点问题。比如5>3，平方后，5^2;>3^2;，但1>-2，平方后，1^2;<(-2)^2;。

事实上，本质原因在于函数y=x^2;在R上不单调。但我们知道，y=x^2;在R+上是单调递增的，因此不等式两边都是非负时，同时平方，不等号的方向不变，这是可以的。对两个非负数来说，大的那个数，它的平方也相应会大一些;反过来，平方大一些的数，这个数本来也会大一些。比如|2x-1|≥1，两边同时平方，可得(2x-1)^2;≥1，整理得4x^2;-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1。

高考要求

1理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

2．掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；

3、理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题。

4、解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：（1）分类讨论；（2）平方；（3）利用绝对值不等式的性质，如

等

5、证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等等