二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

概述

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…，n），并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和n/i=1Σ(ξi,ηi)Δδi.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即∫∫f(x,y)dδ=lim Σf(ξi,ηi)Δδi

这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素,D称为积分域,∫∫称为二重积分号.

性质

性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ

性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ(k为常数）

性质1与性质2合称为积分的线性性质。

性质3如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ

推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ

性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，

则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ

性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=1,σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ

性质6二重积分中值定理

设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。