物体的表面或平面图形的大小就是它们的面积。当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小叫做该物体的面积，面积可以是平面的也可以是曲面的。平方米，平方分米，平方厘米，是公认的面积单位，用字母可以表示为（m²，dm²，cm²）。面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的。

简介

面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的，或者用单一涂层覆盖表面所需的涂料量。它是曲线长度（一维概念）或实体体积（三维概念）的二维模拟。

可以通过将固定尺寸的形状与正方形进行比较来测量形状的面积。在国际单位制（SI）中，标准单位面积为平方米（平方米），面积为一米长的正方形面积，面积为三平方米的形状将与三个这样的广场相同。在数学中，单位正方形被定义为具有区域1，任何其他形状或表面的面积都是无量纲实数。

有几种众所周知的简单形状的公式，如三角形，矩形和圆形。使用这些公式，可以通过将多边形分成三角形来找到任何多边形的面积。对于具有弯曲边界的形状，通常需要微积分来计算面积。事实上，确定飞机数字面积的问题是演算历史发展的主要动机。

对于诸如球体，锥体或圆柱体的实体形状，其边界面的面积被称为表面积，简单形状的表面区域的公式由古希腊人计算，但计算更复杂形状的表面积通常需要多变量微积分。

区域在现代数学中起着重要的作用。除了其在几何和微积分中的显着重要性，面积与线性代数中的决定因素的定义有关，是微分几何中表面的基本特性。在分析中，使用Lebesgue测量来定义平面的子集的面积，尽管并不是每个子集都是可测量的。一般来说，高等数学领域被视为二维地区体积的特殊情况。

可以通过使用公理来定义区域，将其定义为某些平面图的集合与实数集合的函数。可以证明存在这样的函数。

发展历史

圆的面积

在公元前5世纪，希俄斯堡的希波克拉底是第一个显示盘片区域（由圆圈包围的区域）与其直径的平方成比例的，作为他在希波克拉底时代的正交的一部分，但没有确定比例常数。Cnidus的Eudoxus也在公元前5世纪也发现磁盘的面积与其半径平方成正比。

随后，欧几里德要素的第一卷涉及二维人物之间的平等。数学家阿基米德使用欧几里德几何的工具来表明，在他的书“测量圈”中，一个圆内的区域与一个直角三角形的直角三角形相同，其直径三角形具有圆的圆周长度，高度等于圆的半径。（圆周为2πr，三角形的面积为基准的一半乘以高度，产生磁盘的面积为πr²）。阿基米德的近似值为π（因此单位半径圆的面积）与他的倍数方法，其中刻有一个正三角形的圆圈并注明其面积，然后将边数增加一倍，给出正六边形，然后随着多边形的面积越来越接近圆的边数，反复加倍边数（并用限定的多边形做同样的）。

1761年，瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert）证明，一个圆的面积与其平方半径的比值是不合理的，这意味着π不等于任意两个整数的商。1794年，法国数学家Adrien-Marie Legendre证明π2是不合理的;这也证明π是不合理的。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明，π是超验的（不是任何具有理性系数的多项式方程的解），证实了勒让德和欧拉的推测。

三角形面积

亚历山大的苍鹭（或英雄）发现了三角形方面所谓的苍鹭的公式，并且在他的书中，可以在他的大约60年前写的Metrica的书中找到一个证明。有人建议阿基米德在两个世纪前知道这个公式，由于Metrica是古代世界可用的数学知识的集合，所以有可能该公式早于该作品中的参考。

在印度数学和印度天文学古典时代的一位伟大的数学家-天文学家499年，Aryabhata将三角形的面积表示为Aryabhatiya高度的一半。

中国人独立于希腊人发现了相当于苍鹭的公式。它于1247年在蜀崎九章出版（“九章数学论”）上发表，由秦九绍撰写。

四边形面积

在公元七世纪，Brahmagupta开发了一个公式，现在称为Brahmagupta的公式，用于其侧面的循环四边形（四边形刻在圆中）的面积。1842年，德国数学家Carl Anton Bretschneider和Karl Georg Christian von Staudt独立地发现了一种称为Bretschneider公式的公式，用于任何四边形的区域。

一般多边形面积

17世纪由雷内笛卡尔发展笛卡尔坐标允许在19世纪由高斯开发具有已知顶点位置的任何多边形区域的测量师公式。

使用微积分确定面积

17世纪末的积分演化提供了随后可用于计算更复杂区域的工具，例如椭圆的面积和各种弯曲的三维物体的表面积。

单位

面积（square）的测量单位主要包括：

平方米（米的二次方m²）——国际标准单位

公亩——100平方米

公顷（ha/hm²）——10,000平方米

平方公里（km²）——1,000,000平方米

市制：

平方市里——0.25平方公里

平方市尺——1/9平方米

台制：

台湾甲——9,699.173平方公尺

坪——3.3058平方公尺

香港：

平方尺（平方英尺）

常用的面积单位有平方厘米、平方分米和平方米。

（1）边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米。

（2）边长是1分米的正方形，面积是1平方分米。

（3）边长是1米的正方形，面积是1平方米。

一般测量较大的面积用到公顷和平方千米。

（1）边长是100米的正方形，面积是1公顷。

（2）边长是1千米的正方形，面积是1平方千米。

建筑

居住面积

住宅的居住面积是指住宅建筑各层平面中直接供住户生活的居室净面积之和。所谓净面积就是要除去墙、柱等建筑构件所占的水平面积。

套内面积和实用面积

套内建筑面积与使用面积不是一个概念，套内建筑面积包括使用面积和套内墙体面积，您可以自己测量房屋的实际使用面积,即俗称地毯面积。

使用面积

住宅的使用面积，指住宅各层平面中直接供住户生活使用的净面积之和。计算住宅使用面积，可以比较直观地反映住宅的使用状况，但在住宅买卖中一般不采用使用面积来计算价格。

计算使用面积时有一些特殊规定：跃层住宅中的户内楼梯按自然层数的面积总和计入使用面积；不包含在结构面积内的烟囱、通风道、管道井均计入使用面积；内墙面装修厚度计入使用面积。

建筑面积

住宅的建筑面积是指建筑物外墙外围所围成空间的水平面积，如果求多、高层住宅的建筑面积，则是各层建筑面积之和。建筑面积的计算比较复杂，以下将单独介绍一。

住宅的公用面积

住宅的公用面积是指住宅楼内为住户出入方便，正常交往，保障生活所设置的公共走廊、楼梯、电梯间、水箱间等所占面积的总和。