如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集（proper subset）。如果A包含于B，且A不等于B，就说集合A是集合B的真子集。

集合的子集与真子集的考试题型较多，主要分为三类：判断集合间的关系；求一个集合的子集与真子集的个数；利用两个集合间的关系求参数的值或取值范围。

定义

子集

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。

即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。

真子集

如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（propersubset）。记作A⊊B（或B⊋A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。

即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⊊B。空集是任何非空集合的真子集。

非空真子集：如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoidpropersubset）。

真子集与子集的区别；

子集就是一个集合中的全部/部分元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。

举例

所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集；所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集（即N⫋Z）；{1，3}⫋{1，2，3，4}，{1，2，3}⫋{1，2，3，4}；∅⫋{∅}。但不能说{1，2，3}⫋{1，2，3}。

设全集I为{1，2，3}，则它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、∅；而它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、∅。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}。

有关命题

命题1：若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2n，且有2n-1个真子集，2n-2个非空真子集。

证明：设元素编号为1,2,n，每个子集对应一个长度为n的二进制数（规定数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。如全集U={e1,e2,e3,e4,e5}，则{e1,e2,e3,e4,e5}↔11111，{e2,e3,e4}↔01110，{e4}↔00010）。即其子集为00，0（n个0）、11，1（n个1）。易知一共有2n个数，因此对应2n个子集。去掉11，1（即表示原来的集合A）则有2n-1个真子集，再去掉00，0（表示空集）则有2n-2个非空真子集。

命题2：空集是任意集合的子集。

证明：给定任意集合A，要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素；但是∅没有元素。

对有经验的数学家们来说，推论“∅没有元素，所以∅的所有元素是A的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。换一种思维将有所帮助，为了证明∅不是A的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题3：若A，B，C是集合，则：

自反性:A⊆A，反对称性:A⊆B且B⊆A，当且仅当A=B，传递性:若A⊆B且B⊆C则A⊆C。这个命题说明：对任意集合S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题4：若A，B，C是集合S的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：∅⊆A⊆S（∅⊆A由命题2给出）。存在并运算:A⊆A∪B若A⊆C且B⊆C则A∪B⊆C存在交运算:A∩B⊆A若C⊆A且C⊆B则C⊆A∩B。这个命题说明：表述"A⊆B"和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

命题5:对任意两个集合A和B，下列表述等价：A⊆BA∩B=AA∪B=BA−B=B′⊆A′。