十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相等。十二平均律是由中国明朝皇族世子朱载堉发现。

十二平均律是指八度的音程按波长比例平均分成十二等份，每一等份称为一个半音（小二度）。一个大二度则是两等份，称为全音。将一个八度分成12等份有着惊人的一些巧合。这是因为它的纯五度音程的两个音的波长比（即1/2的7/12次方）约为0.6674，与2/3，约为0.6667，非常接近。

由于波长与弦长之间存在正比关系，因此波长关系可以转化为弦的长短关系。所以即使在16世纪，那个西方物理学才刚刚起步，还没有发现机械波的时代，中国明朝皇族世子朱载堉就利用他精湛的数学计算能力，发现了这一近似值规律，这也是一件十分伟大和令人赞叹的事。

十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，钢琴即是根据十二平均律来定音的。

音乐定律

十二平均律，又称“十二等程律”，是一种音乐定律方法，将一个纯八度（如c1-c2）按波长比例平均分成十二等份，每等分称为半音，各相邻两律之间的波长之比完全相等，它是最主要的调音法。钢琴就是根据十二平均律定音的。

“十二平均律”的纯四度和大三度，两个音的波长比分别与3:4和4:5比较接近。也就是说，“十二平均律”的几个主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的，只有极小的差别，这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件，因为这些乐器是靠自然泛音级（自然泛音序列，其波长是基音波长的整数分之一序列）来形成音阶的。半音是十二平均律组织中最小的音高距离，全音由两个半音组成。1-i之间分成12份。具体1-2全音，2-3全音，3-4半音，4-5全音，5-6全音，6-7全音，7-i半音。

十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，钢琴即是根据十二平均律来定音的，因为只有“十二平均律”才能方便地进行移调。曲调由音阶组成，音阶由音组成。音有绝对音高和相对音高。声音是机械波，而机械波的波长由弦长等因素决定，且成正比关系。不同的音有不同的波长。人们选取一定波长的音来形成音乐体系所需要的音高。

十二平均律简而言之，就是把半根琴弦按照等比数列平均分成十二份。一根琴弦的长度设为1，可以表示为(1/2)^(0/12)，第一点的位置是(1/2)^(1/12)，第二点的位置是(1/2)^(2/12)，依此类推，第n点的位置是(1/2)^(n/12)。因为这样的一组音是等比关系，所以无论从哪个位置开始弹起旋律都是一样的。使用十二平均律奏和弦不纯，奏旋律导向性不够，所以在乐曲的演奏中，尤其在乐队多声部合奏的时候，实际上是多律并用的，根据实际情况，在演奏过程中，偏向哪一种律制，并不是一成不变的。

根据十二平均律所有半音都相等的特点，因此还产生了“等音”的概念。

钢琴上每相邻的两个琴键（黑白都算）的差别，音乐上即为半音。比如说C和#C相差半音，C和D相差两个半音（或曰一个全音），以此类推。如果B再往上升半音，会发现这个音的波长刚好是C的一半，而在音乐上称为一个八度，这两个音听起来“很相似”。用小写的c来表示它，依次有#c,d……再往上走可以用c1……，c2……来表示，而往下走可以用大写的C1……，C2……来表示。

历史

据说十二平均律是在16世纪由明朝皇族世子朱载堉发现。由于波长与弦长之间存在正比关系，因此波长关系可以转化为弦的长短关系。所以即使在16世纪，那个西方物理学才刚刚起步，还没有发现机械波的时代，中国明朝皇族世子朱载堉就利用他精湛的数学计算能力，发现了这一近似值规律，这也是一件十分伟大和令人赞叹的事。

明朝中叶，皇族世子朱载堉发明以珠算开方的办法，求得律制上的等比数列，具体说来就是：用发音体的长度计算音高，假定黄钟正律为1尺，求出低八度的音高弦长为2尺，然后将2开12次方得波长公比数1.059463094，该公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黄钟正好还原，这在物理学上就刚好对应了波长的比例关系。朱载堉用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题。

在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，Pere Marin Mersenne在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论。

物理解释

波长和弦长

古人对于声现象的认识比较肤浅，根本不知道声音是机械波，也不可能存在现代的标准音的概念。但是由于在声现象中，弦长与物理上的波长挂钩，波长又与音调挂钩，因此古人实际上是利用物理上的弦长和波长的比例关系，来进行音律设计的，这一点充分体现了古人的智慧。

所有的波（包括机械波、电磁波、引力波等）都有三个最本质的特性：频率/波长、振幅、相位。对于机械波（声波）来说，在相同声速下，机械波的波长决定了这个音的音调，机械波的振幅决定了这个音的大小（强度），而人耳对于相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑机械波的相位问题。

波长比例

由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，加上波长和弦长的正比关系，所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想：如果八度音程的1:2的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上1:2是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是1:3。那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的波长是原来的1/3（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的2/3（因为弦长变成了原来的2/3）。这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。这样，在我们要寻找的λ/2-λ的范围内，出现了第一个重要的波长，即2/3 λ，也就是五度关系。（那个λ/3的波长正好处于下一个八度，即λ/4-λ/2中的同样位置。）

接着再试，数学上简单性仅次于1:3的是1:4，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。一个音的波长是原来的1/4（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的波长是主音的3/4（因为弦长是原来的3/4）。我们又得到了一个重要的波长，3/4 λ。同一根弦，在不同的情况下发出机械波，可以发出很多波长的声音。在听觉上，与主音λ最和谐的就是2/3 λ和3/4 λ（除了主音的各个八度之外）。

这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的长度问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到2/3 λ。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到3/4 λ。

得到这两个波长之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及2/3 λ、3/4 λ。实际上3/4 λ已经比2/3 λ的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音λ最和谐的2/3 λ已经找到了，他们转而找2/3 λ的2/3 λ，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了(2/3)^2 λ即4/9 λ。可是这已经低于了λ/2的范围，进入了左边一个八度。没关系，不是有两倍波长等比关系吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把4/9 λ的波长加倍，便得到了8/9 λ。

接着把这个过程循环一遍，找2/3的3次方，于是就有了8/27 λ，这也在左边一个八度中，再次波长加倍，得到了16/27 λ。

就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是(2/3)^n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

数学方法

近似思想

回到计算不相等的问题，数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(2/3)^5≈0.1317，和(1/2)^3=0.1250很接近（乍一看并不接近，但取倒数后就比较接近了，前者是1/7.594，后者是1/8.000），于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音λ开始，我们只需按2:3比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和3/4 λ，一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的波长，从长到短分别是λ、8/9 λ、64/81 λ、3/4 λ、2/3 λ、16/27 λ、128/243 λ。　如果这里的λ是do，那么8/9 λ就是re、64/81 λ就是mi……，这7个波长组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即2/3 λ推导出来的，而2:3这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。

西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按2:3比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。

仔细看上面“五度相生律”7声音阶的波长，可以发现它们彼此的关系很简单：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 之间的波长比都是8:9，这个比例被称为全音（tone）；mi-fa、si-do 之间的波长比都是243:256，这个比例被称为半音（semitone）。

“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，居然出现了64:81和128:243这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的波长做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）。

“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的波长比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚里士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍留下来的只有残篇，不过可以证实的是他提出了所谓“自然音阶”。

自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的波长分别是：λ、8/9 λ、4/5 λ、3/4 λ、2/3 λ、3/5 λ、8/15 λ。确实简单多了吧？也确实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。

可以看出“纯律”不光用到了2:3的比例，还用到了4:5的比例。新的7个波长中和原来不同的就是4/5 λ、3/5（=4/5×3/4）λ、8/15（=4/5×2/3）λ。

虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系，如今出现了3种：8:9（被叫做“大全音”，major tone，就是原来的“全音”）、9:10（被叫做“小全音”，minor tone）、15:16（新的“半音”）。各位把自然音阶的波长互相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的re和fa，其波长比是27:32，这也不怎么简单，也不怎么好听呢！所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。

对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗？是因为数学上的近似。可这毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。

通过计算，古人发现(2/3)^12≈0.0077073，和(1/2)^7=0.0078125很接近（取倒数分别为1/129.7和1/128），于是他们把“五度相生律”中“按2:3比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和3/4 λ，如今就有了12个音符。　注意，“规范”音阶不是do、re、mi等7个音符了，而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其波长分别是：λ、2048/2187 λ、8/9 λ、16384/19683 λ、64/81 λ、3/4 λ、512/729 λ、2/3 λ、4096/6561 λ、16/27 λ、32768/59049 λ、128/243 λ。

和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下，可以发现原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#（读做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音阶不能用do、re、mi的叫法了，应该被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的波长互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：243:256（就是原来的“半音”，也叫做“自然半音”），2048:2187（这被叫做“变化半音”）。

也就是说，这12个音符几乎可以说又构成了一个等比数列。它们之间的“距离”几乎是相等的。（当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严格的“距离”相等了。）原来的7声音阶中，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之间都相隔一个“全音”，如今则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。

既然C#被认为是从C“升”了半音得到的，那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的，所以C#和Db（读做“降D”）就被认为是等价的。事实上，5个新加入的音符也可以被写做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

这种12声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B，所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。

能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢？可以的。12声音阶的依据仍然是近似思想，按照这个思路，继续找接近的值就可以了嘛。

还有人真地找到了，此人就是我国西汉的著名学者京房（77 BC-47 BC）。他发现(2/3)^53和(1/2)^31也很接近，这个计算量对常人而言是难以想象的，但是他算出来了，于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们的计算器，计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。

当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了吧！开始学音乐的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。

“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的波长比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2048:2187）/（243:256）≈ 0.9865。好像差不多哦？但其实自然半音本身就是243:256 ≈ 0.9492了。

如果12声音阶是真正的等比数列的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢？因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有“转调”的必要了。

所谓转调，其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说，如果某一个人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），乐器为了给他伴奏，得在C～高音C之内弹奏旋律；如果另一个人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），乐器得在D～高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是等比数列，人们会觉得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音，这种不和谐就会很明显。可以说，如果钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高，那么只要旋律中涉及到许多黑键，弹出来的效果就会一塌糊涂。

这种问题在弦乐器上比较好解决，因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求，有意地不在规定的指位上按弦，而是偏移一点按弦，就能解决问题。可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定的，无法临时调整。

所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是不能用的，有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴，为了应付可能出现的各种情况，就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷，导致一方面作曲家觉得受到了限制，一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。

问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的(2/3)^12毕竟和(1/2)^7并不完全相等。之所以会出现两种半音，就是这个近似值造成的。

对“五度相生律”12声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把(2/3)^12和(1/2)^7之间的差距分成12份，累加地分散到12个音阶上，造成一个等比数列。可惜这只是一种修补工作，并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把(2/3)^12和(1/2)^7之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的2:3的比例关系（这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐，即使是在12声音阶中也是如此），这种分散注定不是平均的，最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话，就必须破坏C和G之间的“纯五度”，以及C和F之间的3:4比例（术语是“纯四度”）。这样一来，虽然方便了转调，但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。

一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”（Meantone temperament），就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把(2/3)^12和(1/2)^7之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。

终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗？直接就把1:2这个比例关系开12次方不就行了？也就是说，真正的半音比例应该是¹²√2。如果12音阶中第一个音的波长是λ，那么第二个音的波长就是(1/2)^(1/12) λ（根式可以用分数指数幂来表示），第三个音就是(1/2)^(2/12) λ，第四个音是(1/2)^(3/12) λ，……，第十二个是(1/2)^(11/12) λ，第十三个就是(1/2)^(12/12) λ，就是λ/2，正好是λ的八度。这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中，复调音乐对于多重声部的偏爱，有了这个新音律之后，可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐，也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。

这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜，他的发明，和中国古代其它一些伟大的发明一样，被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知。但是，这也充分体现了中国古人对于世界发展的伟大贡献。

西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然，反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。

波长计算

“十二平均律”的12声音阶的波长（近似值）分别是：

(1) λ = λ(/1)（C）

0.9439 λ = λ/1.059（C#/Db）

0.8909 λ = λ/1.122（D）

0.8409 λ = λ/1.189（D#/Eb）

0.7937 λ = λ/1.260（E）

0.7492 λ = λ/1.335（F）

0.7071 λ = λ/1.414（F#/Gb）

0.6674 λ = λ/1.498（G）

0.6300 λ = λ/1.587（G#/Ab）

0.5946 λ = λ/1.682（A）

0.5612 λ = λ/1.782（A#/Bb）

0.5297 λ = λ/1.888（B）。

注意，所有的半音都一样了，都是¹²√2，即1.059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。另外，原来“五度相生律”的12音阶中，C和G的比例是2:3（即纯五度），“十二平均律”的12音阶中，C和G的比例是0.6674，和纯五度所要求的2:3（0.6667）非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中，C和F的比例是3:4（即纯四度），“十二平均律”的12音阶中，C和F的比例是0.7492，和纯四度所要求的3:4（0.7500）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题，所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi，已经很不容易了。

将八度音等分为十二等分，其数学意义如下：

八度音指的是波长减半（即半波长）。因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数，其结果就是每个音的波长为前一个音的2开12次方分之一（¹²√2≈1.059463）。

理论上来说，所有乐器的音准只需要仪器来校准。但是实践证明，人感觉上的音阶会存在个体差异，所以乐器的调音师是不可被仪器替代的。