行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

概述

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

历史

早期研究

关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念1545年，卡当在著作《大术》（ArsMagna）中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”（regulademodo）。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。

1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。

1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i行第j列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。

任意阶数的行列式

1730年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。

约瑟夫·路易斯·拉格朗日1750年，瑞士的加布里尔·克莱姆首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在奇置换和偶置换上的。

此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安·裴蜀的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。同是法国人的亚历山德·西奥菲勒·范德蒙德（Alexandre-ThéophileVandermonde）则在1771年的论著中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。

1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫·路易斯·拉格朗日发现了的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。

行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡尔·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本著作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。

行列式的现代概念

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奥古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟·凯莱在1841年率先使用的）。柯西还证明了行列式的乘法定理（实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克·菲利普·玛利·比内（JacquePhilippeMarieBinet）的书中出现过，但没有证明。

十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中[18]。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。

与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，卡尔·魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了λ-矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·查尔·卡塔兰（EugèneCharlesCatalan）发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系。

定义方式

重要的数学概念和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n个元素（数）αij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成

(1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：

①每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为

,

式中p1,p2,…,pn是1,2,…,n的一个排列。

②每项/n

应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1p2…pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项α12α23α31排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前,所以α12α23α31应带正号；而α12α21α33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。

(1)称为n阶行列式,有时简记为｜αij｜，其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii,称为主对角线(α11α22…αnn)上的元。

因为n个元的所有排列共有n！个,所以｜αij｜共有n！个项。由此可知，

式中是对1,2,…,n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，/n

行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有归纳定义和公理化定义等。

基本性质

任一行列式都有以下性质:①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则｜αij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与｜αij｜的完全一样。④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

行列式的计算

简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：

是从|αij|中划去第i行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式,称为αij的余子式；Aij称为αij的代数余子式。在上式中把Ait(或Ati)换成Ajt(或Atj)，i≠j,即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成：

式中δ是克罗内克符号。δ表示当i=j时,δij=1,i≠j时，δij＝0。上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由A.-L.柯西于1812年首先证明。k阶子式的代数余子式是上述1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式,则M称为N的余子式。如果N所在的行是i1,i2,…,ik,所在的列分别是j1，j2,…,jk，那么行列式称为N的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N所在行的序数与所在列的序数相同,则N称为主子式。某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式

范德蒙德行列式

用数学归纳法可以证明范德蒙德行列式

显然,一个范德蒙德行列式为零的充分必要条件是x1,x2,…,xn中至少有两个相等。

行列式的乘积

根据拉普拉斯展开式，两个n阶行列式｜αij｜与｜bij｜的乘积是n阶行列式｜сij｜,即

行列式

式中

行列式

设A＝｜αij｜是一n阶行列式，则A的伴随行列式是

式中Aij是αij的代数余子式。

行列式的应用

克莱姆规则是用行列式求解线性方程组的一种方法。设有线性方程组

(2)

如果它的系数行列式

那么它有惟一解

xi=Di/D　(i=1,2,…,n)，(3)

式中Di是将D中第i列中元素αi1,αi2,…,αin分别用b1，b2,…,bn替换得到的行列式。平面解析几何中过两点(x1，y1)和(x2,y2)的直线方程可用行列式表达如下：

三条直线

两两互异,交于一点的充分必要条件是

以(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)三点为顶点的三角形的面积是

的绝对值。特别地，以(0,0)、(x1,y1)、(x2,y2)为顶点的三角形的面积是

的绝对值。因此以向量(x1,y1)、(x2,y2)为边的平行四边形的面积是

的绝对值。这一结论可以推广为:n阶行列式(1)的绝对值可以看作是n维欧几里得空间中以n个向量(αi1,αi2,…,αin)(i=1,2,…,n)为边所张成的超平行六面体的体积。此亦即行列式(1)的几何意义。设n维欧几里得空间中有一个变换

函数行列式

称为雅可比行列式。当J≠0时，则下面的积分变量变换公式成立：

式中G是n维欧几里得空间内有确定面积的有界域，B是G的像。雅可比行列式给出了体积元

和

之间的联系

它在隐函数论的研究中也是不可缺少的。上面行列式|αij|中的元αij假定都是数；如果αij都在一个域中，上面得到的结果仍能成立。1943年，迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文，在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论，大致具备上述行列式基本性质，并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。历史上，最早使用行列式是在17世纪G.W.莱布尼茨与G.-F.-A.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念及其符号，但他的某些思想却来自C.F.高斯。