三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

万能公式

(1)(sina)^2+(cosa)^2=1

(2)1+(tana)^2=(seca)^2

(3)1+(cota)^2=(csca)^2

证明下面两式只需将一式左右同除(cosa)^2，第二个除(sina)^2即可。

(4)对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

相关概念

相关概念三角函数的标准英文读音音

正弦：sine（简写sin）[sain]

余弦：cosine（简写cos）[kəusain]

正切：tangent（简写tan）['tændʒənt]

余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt]

正割：secant（简写sec）['si:kənt]

余割：cosecant（简写csc）['kau'si:kənt]

正矢：versine（简写versin）['və:sain]

余矢：versedcosine（简写vercos）['və:sə:d][kəusain]

直角三角函数

直角三角函数（∠α是锐角）

三角关系

倒数关系：cotα*tanα=1

商的关系：sinα/cosα=tanα

平方关系：sin²α+cos²α=1

基本公式

和差角公式

证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)相同．

和差化积

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．

应用

在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处。到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。（1）该船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？

解（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=√3（千米）在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=√3/3（千米）在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°则BC=√(AB)^2+(AC)^2=√(√3/3)^2+(√3)^2=√30/3(√30/3)/(1/6)=2√30（千米/时）（2）∠DAC=90°－60°=30°sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=AB/BC=√3/√30/3=3√10/10sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°=(3√3-1)√10/20在△ACD中，据正弦定理得，AD/sinDCA=AC/sinCDA∴AD=ACsinCDA/sinDCA=(9+√3)/13答：此时船距岛A为(9+√3)/13千米．