求导是数学计算中的一个计算方法，导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。数学中的名词，即对函数进行求导，用f'(x）表示。

基本方法

方法

⑴求函数y=f(x)在x处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)

② 求平均变化率

③ 取极限，得导数。

⑵基本初等函数的导数公式：

1 .C'=0(C为常数）；

2 .(X)'=nX (n∈Q）；

3 .(sinX)'=cosX；

4 .(cosX)'=-sinX；

5 .(a)'=aIna （ln为自然对数）

特别地，(e)'=e

6 .(logX)'=（1/X)loge=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)

特别地，(ln x)'=1/x

7 .(tanX)'=1/(cosX)=(secX)

8 .(cotX)'=-1/(sinX)=-(cscX)

9 .(secX)'=tanX secX

10.(cscX)'=-cotX cscX

⑶导数的四则运算法则：

①（u±v)'=u'±v'

②（uv)'=u'v+uv'

③（u/v)'=(u'v-uv')/ v²

④复合函数的导数

[u(v)]'=[u'(v)]*v' （u(v）为复合函数f[g(x)]）

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数–称为链式法则。

导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。

重要极限

当 x 趋于0时 sin x=tan x=x

当 x 趋于0时 (1+x)=e

上式等价于 当 x 趋于 正无穷时，(1+1/x)=e

部分证明

(a)'=aIna

b为一个趋于0的量

(f(x+b)-f(x)) / b

=(a-a)/b

=a(a-1)/b

令c=a-1，则c是一个趋于0的量

故b=loga(c+1)

所以上式变为a*c/loga(c+1)

=a*c/(c*loga((c+1)))

=a*c/(c*logae)

=a/logae

=alna

(logaX)'=(1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)

b为一个趋于0的量

(f(x+b)-f(x)) / b

=loga(1+b/x)/b

=(b/x)*(loga((1+b/x)))/b

=logae/x

=1/(x*ln a)

表示

用()'表示

应用实例

程序应用

matlab求导命令diff调用格式：

diff（函数），求函数的一阶导数；

diff（函数，n) 求函数的n阶导数（n是具体整数）；

diff（函数，变量名），求对变量的偏导数；

diff（函数，变量名，n)，求对的n阶偏导数；

matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式：

jacobian([函数；函数；函数] ）给出矩阵：

实例

下面给出的是求函数x^2的导数的例子.

输入： syms x ;

diff(x^2）;

可以得到结果：ans =2*x

分析：

如果一个极限过程你发现分母为零，那就看分子是不是零。

如果分子也是零，或者尝试一下再化简，能把分子分母共同的无穷小量给约掉，或用洛必达法则；

如果分子不是零，就意味着这个极限是无穷，也即发散的。