整数（Integer）：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。德语中的整数叫做Zahlen。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、…（n为整数）为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）。如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

关于整数集

为什么用Z表示整数集呢？这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。

1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时候起整数集就用Z表示了。

数学分类

整数的分类

我们以0为界限，将整数分为三大类

1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到n。

2.既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。

3.负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到-n。

正整数

它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。

正整数也可分成奇数和偶数两类

零

不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

奇数

在整数中，不能被2整除的数叫做奇数。日常生活中，人们通常把奇数叫做单数，它跟偶数是相对的。

偶数

整数中，能够被2整除的数，叫做偶数，又称双数。

偶数包括正偶数、负偶数和0。

所有整数不是奇数（又称单数），就是偶数。当n是整数时，偶数可表示为2n（n为整数）；奇数则可表示为2n+1（或2n-1）。在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数；个位为0,2,4,6,8的数为偶数。

备注：现中学数学教材中规定：零和正整数为自然数。

性质应用

如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义

设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。

整数整除性的一些数码特征（即常见结论）

1与0的特性

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0。

整除特征

（1）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（2）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（3）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（5）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（6）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

（7）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（8）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（9）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（10）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。

（11）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（12）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（15）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（16）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（17）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

奇偶性

1、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数；

2、奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；

3、若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必偶数。