向量积也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量，两个向量的叉积与这两个向量垂直，其运算结果叫叉积（即交叉乘积）、外积或向量积。向量积:在三维坐标系中，从坐标原点O沿X轴取向量OA=a，沿Y轴取向量OB=b.从原点OC垂直与OAB平面,其向量积OC=a*b，其方向由右手法则确定右手拇指指向OA，食指指向OB，中指指向OC。即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

定义

向量积又称“外积”、“叉积”。两向量a与b的向量积是向量，用c=a×b表示。其长度等于以a、b为边的平行四边形的面积(图中阴影部分)，即｜c｜=｜a×b｜=｜a｜·｜b｜sinθ(0≤θ≤π)；方向垂直于与，而且、、三向量成右手系(用右手的拇、食、中三手指分别表示)。/n

方程式

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。向量积可以被定义为：|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于和：若满足垂直的条件，那么也满足。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。

向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来确定。

性质

几何意义

叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。

混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

代数规则

反交换律：

a×b= -b×a

加法的分配律：

a× (b+c) =a×b+a×c

与标量乘法兼容：

(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

不满足结合律，但满足雅可比恒等式：

a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;

则

a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：

x × (ay + bz) = ax × y + bx ×z

(ay + bz) ×x = ay × x + bz × x.

反交换律：

x × y + y ×x = 0

同时与 x 和 y 垂直：

x · (x ×y) =y · (x ×y) = 0

拉格朗日恒等式

|x × y|² = |x|² |y|² – (x ·y)².

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x ×y) ≠ 0

向量应用

在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。

求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点)，就可依靠叉积求得法线。

相关介绍

向量积:在三维坐标系中，从坐标原点O沿X轴取向量OA=a，沿Y轴取向量OB=b.从原点OC垂直与OAB平面,其向量积OC=a*b，其方向由右手法则确定右手拇指指向OA，食指指向OB，中指指向OC。因此可以断定OC向量积是作用于OAB平面上的，而单一力距只垂直一轴作杠杆转动。