有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。如上例中测得物体的长度5.15cm。数据记录时，我们记录的数据和实验结果真值一致的数据位便是有效数字。

定义

有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。所谓能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。有效数字指科学计算中用以表示一个浮点数精度的那些数字。一般地，指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字。如1.24和0.00124的有效数字都有3位。

我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字.把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字.如上例中测得物体的长度4.15cm.数据记录时，我们记录的数据和实验结果的表述中的数据便是有效数字。

产生

在统计中，18和18.00的意义却有不同。18指的是在17.5～18.5（不包括18.5本身）之间值，而18.00则是在17.995～18.005（不包括18.005本身）之间的值。这样就产生了统计中的有效数字问题。对于18和18.00来说，因18有两位，其有效数字为2，而18.00，有四位有效数字。

概念

测量结果都是包含误差的近似数据，在其记录、计算时应以测量可能达到的精度为依据来确定数据的位数和取位。如果参加计算的数据的位数取少了，就会损害外业成果的精度并影响计算结果的应有精度；如果位数取多了，易使人误认为测量精度很高，且增加了不必要的计算工作量。

一般而言，对一个数据取其可靠位数的全部数字加上第一位可疑数字，就称为这个数据的有效数字。

一个近似数据的有效位数是该数中有效数字的个数，指从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置。

正确表示

1、有效数字中只应保留一位欠准数字，因此在记录测量数据时，只有最后一位有效数字是欠准数字。2、在欠准数字中，要特别注意0的情况。0在数字之间与末尾时均为有效数字。如0.078和0.78与小数点无关,均为两位。506与220均为三位。3、л等常数，具有无限位数的有效数字，在运算时可根据需要取适当的位数。 

具体说明

(1)实验中的数字与数学上的数字是不一样的.如数学的8.35=8.350=8.3500，而实验的8.35≠8.350≠8.3500.

(2)有效数字的位数与被测量的大小和仪器的精密度有关.如前例中测得物体的长度为7.45cm，若用千分尺来测，其有效数字的位数有五位.

(3)第一个非零数字前的零不是有效数字。

(4)第一个非零数字开始的所有数字(包括零)都是有效数字。

(5)单位的变换不能改变有效数字的位数.因此，实验中要求尽量使用科学计数法表示数据.如100.2m可记为0.1002km.但若用cm和mm作单位时，数学上可记为10020cm和100200mm，但却改变了有效数字的位数.采用科学计数法就不会产生这个问题了。

与不确定度的关系

有效数字的末位是估读数字，存在不确定性.一般情况下不确定度的有效数字只取一位，其数位即是测量结果的存疑数字的位置;有时不确定度需要取两位数字，其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应。

由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置，因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不确定度(或误差限值).测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小;有效数字位数越少，相对不确定度就越大。可见，有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度。

舍入规则

1、当保留n位有效数字，若后面的数字小于第n位单位数字的0.5就舍掉。

2、当保留n位有效数字，若后面的数字大于第n位单位数字的0.5，则第位数字进1。

3、当保留n位有效数字，若后面的数字恰为第n位单位数字的0.5，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n位数字为奇数加1。

如将下组数据保留三位

45.77=45.8                              43.03=43.0

38.25=38.2                              47.15=47.2

有效数字：是指从该数字左边第一个非0的数字到该数字末尾的数字个数。 

运算规则

一般来讲，有效数字的运算过程中，有很多规则.为了应用方便，我们本着实用的原则，加以选择后，将其归纳整理为如下两类.

一般规则

(1)可靠数字之间运算的结果为可靠数字。

(2)可靠数字与存疑数字，存疑数字与存疑数字之间运算的结果为存疑数字。

(3)测量数据一般只保留一位存疑数字。

(4)运算结果的有效数字位数不由数学或物理常数来确定，数学与物理常数的有效数字位数可任意选取，一般选取的位数应比测量数据中位数最少者多取一位.例如:可取=3.14或3.142或3.1416……;在公式中计算结果不能由于"2"的存在而只取一位存疑数字，而要根据m和v来决定。

(5)运算结果将多余的存疑数字舍去时应按照"四舍六入五凑偶"的法则进行处理.即小于等于四则舍;大于六则入;等于五时，根据其前一位按奇入偶舍处理(等几率原则).例如，3.625化为3.62，4.235则化为4.24。

具体规则

 (1)有效数字相加(减)的结果的末位数字所在的位置应按各量中存疑数字所在数位最前的一个为准来决定.例如30.426.65+4.325-3.90534.72522.745取30.4+4.325=34.7，26.65-3.905=22.74。

(2)乘(除)运算后的有效数字的位数与参与运算的数字中有效数字位数最少的相同。

由此规则(2)可推知:乘方，开方后的有效数字位数与被乘方和被开方之数的有效数字的位数相同。

(3)指数，对数，三角函数运算结果的有效数字位数由其改变量对应的数位决定.例如:中存疑数字为0.08，那么=我们将的末位数改变1后比较，找出发生改变的位置就能得知。

(4)有效数字位数要与不确定度位数综合考虑。

一般情况下，表示最后结果的不确定度的数值只保留1位，而最后结果的有效数字的最后一位与不确定度所在的位置对齐.如果实验测量中读取的数字没有存疑数字，不确定度通常需要保留两位。

但要注意:具体规则有一定适用范围，在通常情况下，由于近似的原因，如不严格要求可认为是正确的。

判断法则

① 所有非零数字都是有效数字

② 介于非零数字之间的0是有效数字

③ 有小数部分的数，其非零数之后的数都是有效数字

④ 用小数表示的数的左边出现的0不是有效数字

⑤ 整数后的0，可能是也可能不是有效数字

准确测量

有效数字为了取得准确的分析结果，不仅要准确测量，而且还要正确记录与计算。所谓正确记录是指记录数字的位数。因为数字的位数不仅表示数字的大小，也反映测量的准确程度。所谓有效数字，就是实际能测得的数字。　　有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的。例如在分析天平上称取试样0.5000g，这不仅表明试样的质量0.5000g，还表明称量的误差在±0.0002g以内。如将其质量记录成0.50g，则表明该试样是在台称上称量的，其称量误差为0.02g，故记录数据的位数不能任意增加或减少。如在上例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为10.4320g，这个记录说明有6位有效数字，最后一位是可疑的。因为分析天平只能称准到0.0002g，即称量瓶的实际重量应为10.4320±0.0002g，无论计量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的。因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。同时从上面的例子也可以看出有效数字是和仪器的准确程度有关，即有效数字不仅表明数量的大小而且也反映测量的准确度。

数字修约规则

处理。　

对于滴定管、移液管和吸量管，它们都能准确测量溶液体积到0.01mL。所以当用50mL滴定管测定溶液体积时，如测量体积大于10mL小于50mL时，应记录为4位有效数字。例如写成24.22；如测定体积小于10mL，应记录3位有效数字，例如写成8.13 mL。当用25mL移液管移取溶液时，应记录为25.00mL；当用5mL吸取关系取溶液时，应记录为5.00mL。当用250mL容量瓶配制溶液时，所配溶液体积应即为250.0mL。当用50mL容量瓶配制溶液时，应记录为50.00mL。　　总而言之，测量结果所记录的数字，应与所用仪器测量的准确度相适应。数字修约规则　　我国科学技术委员会正式颁布的《数字修约规则》，通常称为“四舍六入五成双”法则。四舍六入五考虑，即当尾数≤4时舍去，尾数为6时进位。当尾数4舍为5时，则应是末位数是奇数还是偶数，5前为偶数应将5舍去，5前为奇数应将5进位。　　这一法则的具体运用如下：　　a. 将28.175和28.165处理成4位有效数字，则分别为28.18和28.16。b. 若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数字加1，例如28.2645处理成3为有效数字时，其被舍去的第一位数字为6，大于5，则有效数字应为28.3。c. 若被舍其的第一位数字等于5，而其后数字全部为零时，则是被保留末位数字为奇数或偶数（零视为偶），而定进或舍，末位数是奇数时进1，末位数为偶数时不进

1，例如28.350、28.250、28.050处理成3位有效数字时，分别为28.4、28.2、28.0。　　d. 若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并非全部为零时，则进1，例如28.2501，只取3位有效数字时，成为28.3。　　e. 若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该数字进行连续修约，而应根据以上各条作一次处理。如2.154546 ，只取3位有效数字时，应为2.15，二不得按下法连续修约为2.16：　　2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16

运算规则

前面曾根据仪器的准确度介绍了有效数字的意义和记录原则，在分析计算中，有效数字的保留更为重要，下面仅就加减法和乘除法的运算规则加以讨论。　　a. 加减法：在加减法运算中，保留有效数字的以小数点后位数最小的为准，即以绝对误差最大的为准，例如：　　0.0121+25.64+1.05782=?　　正确计算不正确计算　　0.01 0.0121　　25.64 25.64+ 1.06 + 1.0578226.71 26.70992　　上例相加3个数字中，25.64中的“4”已是可疑数字，因此最后结果有效数字的保留应以此数为准，即保留有效数字的位数到小数点后面第二位。　　b. 乘除法：乘除运算中，保留有效数字的位数以位数最少的数为准，即以相对位数最大的为准。例如：　　0.012×25.64×1.05782=?　　以上3个数的乘积应为：　　0.0121×25.6×1.01=0.328　　在这个计算中3个数的相对误差分别为：　　E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8　　E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04　　E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009　　显然第一个数的相对误差最大（有效数字为3位），应以它为准，将其他数字根据有效数字修约原则，保留3位有效数字，然后相乘即可。　　c. 自然数，在分析化学中，有时会遇到一些倍数和分数的关系，如：　　H3PO4的相对分子量/3=98.00/3=32.67　　水的相对分子量=2×1.008+16.00=18.02　　在这里分母“3”和“2×1.008”中的“2”都还能看作是一位有效数字。因为它们是非测量所得到的数，是自然数，其有效数字位数可视为无限的。　　在常见的常量分析中，一般是保留四位有效数字。但在水质分析中，有时只要求保留2位或3位有效数字，应视具体要求而定。

不确定度

有效数字的末位是估读数字，存在不确定性.一般情况下不确定度的有效数字只取一位，其数位即是测量结果的存疑数字的位置；有时不确定度需要取两位数字，其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应。

由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置，因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效数字位数越少，相对不确定度就越大.可见，有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度。

例子：d=（10.430±0.3）是不对的，只能写成d=（10.4±0.3）

识别有效数字

简明规则

所有非零数字都是有效的1,2,3,4,5,6,7,8,9。

非零数字之间的零点数大于102,2005,50009。

前导零从不重要..0.02,1.0887,51.05。

在一个带小数点的数字中，尾随零（最后一个非零数字的右侧）是重要的.2.02000,5,400,57.5400

在没有小数点的数字中，尾随零可能或可能不显着。需要通过附加图形符号或显式错误信息获得更多信息，以澄清尾随零的意义。

重要数字规则解释

具体来说，编写或解释数字时识别有效数字的规则如下：

所有非零数字都被认为是重要的。例如，91有两个有效数字（9和1），而123.45有五个有效数字（1,2,3,4和5）。

出现在两个非零数字之间的零点的零是很重要的。示例：101.1203有七个有效数字：1,0,1,1,2,0和3。

前导零并不重要。例如，0.00052有两个有效数字：5和2。

包含小数点的数字中的尾随零值很大。例如，12.2300有六个有效数字：1,2,2,3,0和0.数字0.000122300仍然只有六个有效数字（1之前的零不重要）。此外，120.00有五个有效数字，因为它有三个尾随零。这个惯例澄清了这些数字的精度;例如，如果将精确到四位小数位（0.0001）的测量值给出为12.23，那么可以理解，只有两位精度小数位可用。将结果表示为12.2300，表明精确到四位小数（在这种情况下，六个有效数字）。

在不包含小数点的数字中，尾随零的含义可能不明确。例如，如果一个1300号的数字对于最近的单位是精确的（并且恰巧巧合地是一百的确切倍数），或者如果由于四舍五入或不确定性仅显示为最接近的百分点，则可能并不总是清楚的。存在许多解决这个问题的惯例：

有时也称为超栏，或者不太准确地说，一个vinculum可以放在最后一个有效数字上;跟随此后的任何尾随零都是微不足道的。例如，1300有三个有效数字（因此表明数字精确到最接近十）。

不常使用一个密切相关的公约，可以强调一个数字的最后一个重要数字;例如，“2000”有两个重要的数字。

小数点后可放置数字;例如“100.”具体指出三个重要数字是指[3]

在数量和单位测量的组合中，可以通过选择合适的单位前缀来避免歧义。例如，指定为1300克的质量的有效数字是不明确的，而质量为13 hg或1.3 kg则不是。

然而，这些约定并不是普遍使用的，并且通常需要从上下文中确定这样的尾随零是否意在是重要的。如果全部失败，可以明确指定舍入级别。缩写s.f.有时使用，例如“20 000 to 2 s.f.”或“20 000（2 sf）”。或者，不确定性可以单独和明确地用正负号来表示，如20 000±1%，因此不重要的数字规则不适用。这也允许指定十次幂之间的精度（或编号系统的基本功率的任何值）。

科学计数法

在大多数情况下，同样的规则适用于以科学计数表示的数字。但是，按照该符号的标准化形式，不会出现占位符的前导和后置数字，因此所有数字都是重要的。例如，0.00012（两个有效数字）变为1.2×10-4，0.00122300（六个有效数字）变为1.22300×10-3。特别地，消除了尾随零的意义的潜在模糊性。例如，1300〜4个有效数字为1.300×103，而1300〜2个有效数字为1.3×103。

包含有效数字（与基数或指数相反）的表示部分称为有效数或尾数。