合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

定义

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。

性质

所有大于2的偶数都是合数。

所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。

除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。

所有个位为4，6，8的自然数都是合数。

最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。

每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)

对任一大于5的合数(威尔逊定理):

类型

合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者，（其中μ为默比乌斯函数且''x''为质因数个数的一半），而前者则为

注意，对于质数，此函数会传回 -1，且。而对于有一个或多个重复质因数的数字''n''，。

另一种分类合数的方法为计算其因数的个数。所有的合数都至少有三个因数。一质数的平方数，其因数有。一数若有著比它小的整数都还多的因数，则称此数为高合成数。另外，完全平方数的因数个数为奇数个，而其他的合数则皆为偶数个。

合数可分为奇合数和偶合数，也能基本合数（能被2或3整除的），分阴性合数（6N-1）和阳性合数（6N+1），还能分双因子合数和多因子合数。

相关

只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个因数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）

100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25个。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中的证明使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。

如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以证明。

任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，这里P1<P2<…<Pn是质数，其诸方幂ai是正整数。

这样的分解称为N的标准分解式。

算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念，更一般的还有戴德金理想分解定理。

上下素性判定法

命题 1对于B=36N+1 形数而言。

若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整数解，

则 6（3N-W）+1 是小因子数；6（3N+W）+1 是大因子数。

若不定方程 （3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整数解，

则 6（3N-W）-1 是小因子数；6（3N+W）-1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 2对于B=36N+7 形数而言。

若不定方 （3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整数解，

则 6（3N-W）+1 是小因子数，6（3N+W+1）+1 是大因子数。

若不定方程 （3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整数解，

则 6（3N+2-W）-1 是小因子数，6（3N+W+3）-1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 3对于B=36N+13 形数而言。

若不定方程 （3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整数解，

则 6（3N+1-W）+1 是小因子数，6（3N+1+W）+1是大因子数。

若不定方程 （3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整数解，

则 6（3N+2-W）-1 是小因子数，6（3N+2+W）-1是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 4对于B=36N+19 形数而言。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整数解，

则 6（3N+1-W）+1 是小因子数；6（3N+2+W）+1 是大因子数。

若不定方程 （3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整数解，

则 6（3N+1-W）-1 是小因子数；6（3N+2+W）-1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 5对于B=36N+25 形数而言。

若不定方 （3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整数解，

则 6（3N+2-W）+1 是小因子数，6（3N+2+W）+1 是大因子数。

若不定方程 （3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整数解，

则 6（3N+1-W）-1 是小因子数，6（3N+1+W）-1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 6对于B=36N+31 形数而言。

若不定方程 （3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整数解，

则 6（3N+2-W）+1 是小因子数，6（3N+3+W）+1是大因子数。

若不定方程 （3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整数解，

则 6（3N-W）-1 是小因子数，6（3N+1+W）-1是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 7对于B=36N-1 形数而言。

若不定方程（3N）^2-N+（B+1）/36=W^2 有整数解，

则 6（3N-W）+1 是小因子数；6（3N+W）-1 是大因子数。

若不定方程 （3N）^2+N+（B+1）/36=W^2 有整数解，

则 6（W-3N）-1 是小因子数；6（W+3N）+1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 8对于B=36N+5 形数而言。

若不定方 （3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整数解，

则 6（W-3N）+1 是小因子数，6（W+3N+1）-1 是大因子数。

若不定方程 （3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整数解，

则 6（W-3N-2）-1 是小因子数，6（W+3N+3）+1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 9对于B=36N+11 形数而言。

若不定方程 （3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整数解，

则 6（W-3N-1）+1 是小因子数，6（W+3N+1）-1是大因子数。

若不定方程 （3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整数解，

则 6(W-3N-2）-1 是小因子数，6（W+3N+2）+1是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 10对于B=36N+17 形数而言。

若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整数解，

则 6（W-3N-1）+1 是小因子数；6（W+3N+2）-1 是大因子数。

若不定方程 （3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整数解，

则 6（W-3N-1）-1 是小因子数；6（W+3N+2）+1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 11对于B=36N+23 形数而言。

若不定方 （3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整数解，

则 6（W-3N-2）+1 是小因子数，6（W+3N+2）+1 是大因子数。

若不定方程 （3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整数解，

则 6（W-3N-1）-1 是小因子数，6（W+3N+1）+1 是大因子数。

两式都无解，是素数。

命题 12对于B=36N+29 形数而言。

若不定方程 （3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整数解，

则 6（W-3N-2）+1 是小因子数，6（W+3N+3）-1是大因子数。

若不定方程 （3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整数解，

则 6（W-3N）-1 是小因子数，6（W+3N+1）+1是大因子数。

两式都无解，是素数。

关于哥德巴赫猜想(Su Bin):设（2+Na）*(2+Nb)=x经过推导得(x-4)^2=3(Na+Nb)^2+2NaNb(x-1)

所以x≥4,且x≠5.所以x≥6.

左边为合数，右边是两个数的和。