在量子力学里，双缝实验（double-slit experiment）是一种演示光子或电子等等微观物体的波动性与粒子性的实验。双缝实验是一种“双路径实验”。在这种更广义的实验里，微观物体可以同时通过两条路径或通过其中任意一条路径，从初始点抵达最终点。这两条路径的程差促使描述微观物体物理行为的量子态发生相移，因此产生干涉现象。另一种常见的双路径实验是马赫-曾德尔干涉仪实验。

起源

托马斯·杨（Thomas Young，1773—1829）于1801年进行了一次光的干涉实验，即著名的杨氏双孔干涉实验，并首次肯定了光的波动性。随后在他的论文中以干涉原理为基础，建立了新的波动理论，并成功解释了牛顿环，精确测定了波长。

1803年，杨把干涉原理用以解释衍射现象。

1807年，杨发表了《自然哲学与机械学讲义》（A course of Lecturse on Natural Philosophy and the Mechanical Arts），书中综合整理了他在光学方面的理论与实验方面的研究，

并描述了双缝干涉实验，后来的历史证明，这个实验完全可以跻身于物理学史上最经典的前五个实验之列。但是他认为光是在以太媒质中传播的纵波。这与光的偏振现象产生了矛盾，然而杨并未放弃光的波动说。

杨的着作点燃了革命的导火索，光的波动说在经过了百年的沉寂之后，终于又回到了历史舞台上来。但是它当时的日子并不好过，在微粒说仍然一统天下的年代，杨的论文开始受尽了权威们的嘲笑和讽刺，被攻击为“荒唐”和“不合逻辑”。在近20年间竟然无人问津，杨为了反驳专门撰写了论文，但是却无处发表，只好印成小册子。但是据说发行后“只卖出了一本”。

1818年菲涅耳（Augustin Fresnel，1788—1827）在巴黎科学院举行的一次以解释衍射现象为内容的科学竞赛中以光的干涉原理补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅耳原理，完善了光的衍射理论并获得优胜。早于1817年在面对波动说与光的偏振现象的矛盾时，杨觉察到如果光是横波或许问题可以得到解决，并把这一想法写信告诉了阿拉果（D.F.Arago，1786—1853），阿拉果立即把这一思想转告给了菲涅耳。于是当时已独自领悟到这一点的菲涅耳立即用这一假设解释了偏振现象，证明了光的横波特性，使得光的波动说进入一个新的时期。

理论依据

量子力学

让我们考虑这一“原型的”量子力学实验。一束电子或光或其他种类的“粒子-波”通过双窄缝射到后面的屏幕去。为了确定起见，我们用光做实验。按照通常的命名法，光量子称为“光子”。光作为粒子（亦即光子）的呈现最清楚地发生在屏幕上。光以分立的定域性的能量单位到达那里，这能量按照普朗克公式E=hv恒定地和频率相关。屏幕从不会接收“半个”（或任何分数的）光子的能量

。光接收是以光子单位的完全有或完全没有的现象。只有整数个光子才被观察到。

然而，光子通过缝隙时似乎产生了类波动的行为。先假定只有一条缝是开的（另一条缝被堵住）。光通过该缝后就被散开来，这是被称作光衍射的波动传播的一个特征。但是，这些对于粒子的图像仍是成立的。可以想象缝隙的边缘附近的某种影响使光子随机地偏折到两边去。当相当强的光也就是大量的光子通过缝隙时，屏幕上的照度显得非常均匀。但是如果降低光强度，则人们可断定，其亮度分布的确是由单独的斑点组成——和粒子图像相一致——是单独的光子打到屏幕上。亮度光滑的表观是由于大量的光子参与的统计效应。（为了比较起见，一个60瓦的电灯泡每一秒钟大约发射出10^20个光子！）光子在通过狭缝时的确被随机地弯折——弯折角不同则概率不同，就这样地得到了所观察到的亮度分布。

然而，当我们打开另一条缝隙时就出现了粒子图像的关键问题！假设光是来自于一个黄色的钠灯，这样它基本上具有纯粹的非混合的颜色——用技术上的术语称为单色的，也即具有确定的波长或频率。在粒子图像中，这表明所有光子具有同样的能量。此处波长约为5×10-7米。假定缝隙的宽度约为0.001毫米，而且两缝相距0.15毫米左右，屏幕大概在一米那么远。在相当强的光源照射下，我们仍然得到了规则的亮度模式。但是我们在屏幕中心附近可看到大约三毫米宽的称为干涉模式的条纹的波动形状。我们也许会期望第二个缝隙的打开会简单地把屏幕的光强加倍。如果我们考虑总的照度，这是对的。但是强度的模式的细节和单缝时完全不同。屏幕上的一些点——也就是模式在该处最亮处——照度为以前的四倍，而不仅仅是二倍。在另外的一些点——也就是模式在该处最暗处——光强为零。强度为零的点给粒子图像带来了最大的困惑。这些点是只有一条缝打开时粒子非常乐意来的地方。我们打开了另一条缝，忽然发现不知为什么光子被防止跑到那里去。我们让光子通过另一条途径时，怎么会在实际上变成它在任何一条途径都通不过呢？

光的波动

在光子的情形下，如果我们取它的波长作为其“尺度”的度量，则第二条缝离开第一条缝大约有300倍“光子尺度”那么远（每一条缝大约有两个波长宽），这样当光子通过一条缝时，它怎么会知道另一条缝是否被打开呢？事实上，对于“对消”或者“加强”现象的发生，两条缝之间的距离在原则上没有受到什么限制。

当光通过缝隙时，它似乎像波动而不像粒子那样行为。这种抵消——对消干涉——是波动的一个众所周知的性质。原来两条路径的每一条分别都可让光通过，而两条同时都开放，则它们完全可能会相互抵消。这种现象发生的原因是：如果从一条缝隙来的一部分光和从另一条缝隙来的“同相”（也就是两个部分波的波峰同时发生，波谷也同时发生），则它们将互相加强。但是如果它们刚好“反相”（也就是一个部分波的波峰重叠到另一部分的波谷上），则它们将互相抵消。在双缝实验中，只要屏幕上到两缝隙的距离之差为波长的整数倍的地方，则波峰和波峰分别在一起发生，因而是亮的。如果距离差刚好是这些值的中间，则波峰就重叠到波谷上去，该处就是暗的。关于通常宏观的经典波动同时以这种方式通过两个缝隙没有任何困惑之处。波动毕竟只是某种媒质（场）或者某种包含有无数很小点状粒子的物体的一种“扰动”。扰动可以一部分通过一条缝隙，另一部分通过另一条缝隙。但是这里的情况非常不同；每一个单独光子自身是完整的波动！在某种意义上讲，每个粒子一下通过两条缝隙并且和自身干涉！人们可将光强降得足够低使得保证任一时刻不会有多于一个光子通过缝隙的附近。对消干涉现象，因之使得两个不同途径的光子互相抵消其实现的可能性，是加在单独光子之上的某种东西。如果两个途径之中只有一个开放，则光子就通过那个途径。但是如果两者都开放，则两种可能性奇迹般地互相抵消，而发现光子不能通过任一条缝隙！

实验

实验图

做本实验用的全部装置如图1所示，在可旋转式光具座导轨1的一端用滑块固定光源2，光源灯泡由J1201型低压电源的交流输出供电，3是光源用单缝，缝宽0.11mm，光具架4装在另一滑块上，4中间安装双缝5，缝宽0.016～0．020mm，缝距0.080mm，导轨另一端用长滑块固定。

6是观察筒。各光具的光轴要和导轨平行并大致共轴．光源灯泡是“12V 50W”卤钨灯，为了延长它的寿命，开始先用6V点亮，避免很大的冲击电流，然后根据实验所需的亮度逐渐升高电压，但不得超过12V

实验前的调整：只装上光源2，在导轨另一端装毛玻璃屏，转动光源，使射出的光束在屏的中央形成光斑．再装上光源单缝、光具架和双缝，单缝取竖直方向，双缝外环上的指示线对准光具架上的零刻线，双缝距离单缝5～10cm．此时顺着光的传播方向看，通过单缝的光形成的窄条形光斑应恰好落在双缝上，如偏斜则应转动光源和单缝使之对准．即单缝与双缝平行．再取下毛玻璃屏．装上观察筒，对准光具架稍加转动，就能由大透镜看到筒内毛玻璃屏上呈现不少于5条的彩色干涉条纹．观察筒入光口装有可平移的方形光栏，用以挡住环境中的杂散光的干扰，使视场中的干涉条纹清晰可见．如果干涉条纹形状不好或不出现条纹，可能是单缝与双缝不平行，再仔细调节即可．在光源上加滤色片，可看到近乎单色的明暗相间的干涉条纹，还可加不同颜色的玻璃，看到的干涉条纹间距离不同．使光源适当靠近双缝可增加干涉明条纹的亮度，使明暗条纹反差增大．使观察筒离双缝远些，干涉条纹间距离变大，但亮度要减弱．

这个实验在不太亮的教室中就能进行，转动光具座导轨，让全班学生在座位上轮流观察。

自制仪器

按图2自制一个双缝，e是一块复铜绝缘板（或较厚的平整铁片），按虚线挖一个长方孔，在复铜面上用锡焊牢一根直径0.05～0.10mm的细铜丝ab，要绷直。再焊上两个刮脸刀片c、d，刀片的刃要平直并且和铜丝平行，距离尽量近但勿接触，形成的缝宽宜小于0.2mm，可在ab两侧先各贴放一根细漆包线，将刀片刃和漆包线贴紧，焊好后再取走漆包线。以上操作可在放大镜下进行。

用平面镜将日光反射到暗室中，先通过一个硬纸板做的单缝，缝宽约0.5mm，再投射到自制双缝上，双缝距单缝0.5～1m；在双缝后1～2m的白墙上就呈现彩色干涉条纹。若在单缝前放三棱镜将日光色散，使单缝通过某一颜色的光，则得到单色干涉条纹，但亮度弱，宜投在毛玻璃屏上由屏后观察。

激光光学

可得到真正的单色光的干涉图样．用氦氖激光照射仪器所附的双缝，可在不太亮的教室中几米远的白墙上形成间距相当大的干涉图样供全班同时观看。因激光束直径很小，故形成的干涉条纹很短，近似为点状。

原理

两个相干光源干涉会产生干涉条纹，例如杨氏干涉两相邻直条纹的间距为△x=λl/d，其中d为两个狭缝中心的间距，λ是单色光波波长，ι是双缝屏到和它平行的考察屏的距离。菲涅耳（Fresnel）双棱镜以折射的方式分割由S发出的波阵面，其本质就是一个变样的杨氏双缝干涉，工作原理和杨氏双缝干涉一样。

内容步骤

光路调节

⑴将单色光源M、会聚透镜L、狭缝S、双棱镜AB与测微目镜P，按图16－2所示次序放置在光具座上，用目视粗略地调整它们中心等高、共轴，并使双棱镜的底面与系统的光轴垂直，棱脊和狭缝的取向大体平行。

⑵点亮光源M，通过透镜照亮狭缝S，用手执白纸屏在双棱镜后面检查。

干涉条纹

⑴减小狭缝宽度（以提高光源的空间相干性），一般情况下可从测微目镜观察到不太清晰的干涉条纹。

⑵绕系统光轴缓慢地向左或右旋转双棱镜B，当转到双棱镜脊与狭缝的取向严格平行时，显现出清晰的干涉条纹。

⑶为便于测量，在看到清晰的干涉条纹后，应将双棱镜或测微目镜前后移动，使干涉条纹的宽度适当，同时只要不影响条纹的清晰度，可适当增加缝宽，以保持干涉条纹有足够的亮度。

测量

在双棱镜和目镜之间插放凸透镜L，并调节L的位置和目镜的位置，

使得从目镜里能看到清晰的双缝象。当这个象和分划版上的叉丝之间无视差时，用测微目镜量出双缝象的间距do′再量出成象时的物距u（即狭缝S到透镜L的距离）和象距v（即透镜L到分划版之间的距离），即可根据d=d’u/v算出两个虚光源S1、S2的间距d。最后，可以根据DX、ι和d算得准单色光源的波长λ。

双缝衍射

引言

美国物理学家费曼曾说：在双缝衍射现象中“包括了量子力学唯一的奥秘。”在他的名着《费曼物理学讲义Ⅲ》一书的第一章中，以“量子行为”为标题，详细考察了电子的双缝衍射实验的这个“奥秘”：如果电子枪发出一束电子通过两条缝落在后面的屏幕上，则一方面落在屏幕上的电子呈现出像子弹一样的颗粒性，另一方面屏幕上的电子的数目分布呈现出像水波一样的干涉现象。电子的这种行为否定了如下命题：

A：在两条缝同时打开的条件下的衍射图形将是在两条缝分别轮流打开的条件下得到的两个衍射图形的迭加。

费曼说：这种行为是“极其神秘”的，而且“你考虑的越多，就越会感到神秘。”他还说：人们曾经设想单个电子以各种复杂方式绕行通过缝来解释这种行为，但都不成功。最后人们才认识到，导致命题A的是如下前提：

B：每一个达到屏幕的电子不是通过第一条缝就是通过第二条缝。

在《费曼物理学讲义Ⅲ》一书中，未曾详细表述如何从命题B导出命题A。根据后人的理解，这一推导过程可以表述如下：

第一步：按照命题B，如果在电子的双缝衍射实验中同时打开两条缝，让一束电子通过这两条缝到达一个屏幕，则一个到达屏幕上的电子必须而且仅仅通过某一条缝。因此，如果用符号e表示一个到达屏幕的电子，E表示“e通过第一条缝”而F表示“e通过第二条缝”，则有：

E∪F=U （必然事件），E∩F=∅ （不可能事件）。⑴

第二步，令x表示屏上的一个小区域，X表示“e落在x上”，则E∩X表示“e通过第一条缝落在x上”；而F∩X表示“e通过第二条缝落在x上”。根据事件运算的布尔代数规则，从⑴式可得出：

E∩X∪F∩X=X，（E∩X）∩（F∩X)=∅。⑵

第三步，根据概率的频率定义，从上述公式可得出：

Pr(X)=Pr(E∩X)+Pr(F∩X）。⑶

这是概率的加法公式的一种形式。

第四步，根据概率的乘法公式，有

Pr(E∩X)=Pr(E)Pr(X|E）；Pr(F∩X)=Pr(F)Pr(X|F）。⑷

应用⑷式，⑶式表成

Pr(X)=Pr(E)Pr(X|E)+Pr(F)Pr(X|F）。⑸

nikantayande

这是概率论中的“全概率公式”。

如果只打开第一条缝，事件“e落在x上”的概率为Pr(X|E）；如果只打开第二条缝，该事件的概率为Pr(X|F）；如果两条缝都打开，该事件的概率为Pr(X）。按照全概率公式，Pr(X）是Pr(X|E）和Pr(X|F）按照Pr(E）与Pr(F）的比例相加，特别是，当Pr(E)=Pr(F)=1/2时，Pr(X）是Pr(X|E）和Pr(X|F）的算术平均值。考虑到x是屏幕上的任意区域，由此立刻得出命题A。但双缝衍射实验否定了这一结论。于是费曼得出必须放弃命题B的结论。

如果电子的运动是轨道运动，则命题B肯定成立，因此费曼实际上断言：“电子的运动不是轨道运动。”这正是哥本哈根诠释的基本观点。

从数学的角度来看，命题A是⑸式的结论，而⑸式则是根据⑴式、⑵式、⑶式和⑷式一步步导出的。我们看到，为了摆脱命题A与实验事实之间的矛盾，费曼的思路是：否定命题B，从而否定了⑴式，从而得不到命题A，从而导致量子力学的哥本哈根诠释。

其它诠释

同样为了摆脱命题A与实验事实之间的矛盾，有人得出了其它的量子力学的诠释，举例如下：

有人认为，命题演算中的“分配律”

（E∪F）∩X=E∩X+F∩X

在这里不再适用，因此⑴式虽然成立，但从⑴式得不到⑵式，从而也得不到命题A。建立在这种看法上的量子力学诠释称为“非分配逻辑诠释”，它是所谓“量子逻辑诠释”的一种。

“哥本哈根诠释”与“非分配逻辑诠释”都确认全概率公式从而概率论不适用于微观过程，前者把这一前提追溯到经典概念，而后者则把它追溯到经典逻辑。

还有一种诠释不涉及经典概念与经典逻辑，仅仅否定概率论本身。例如，法国物理学家吉·洛查克继承了德布罗意的观点，认为概率论仅适用于“隐变量”，但由于某种原因，它不适用于计算测量结果的平均值。因此，洛查克确认⑴式与⑵式，但否定⑶式，从而也得不到命题A。

以建立“量子概率诠释”着称的L·阿卡迪提出如下论点：根据概率的频率定义，⑴式、⑵式与⑶式适用于任何过程，但⑷式，即概率的乘法公式不适用于微观过程，因此还是得不到命题A。阿卡迪把概率的乘法公式称为“贝叶斯公理”，并断言：“量子力学中的一切佯谬都是由于不适当地应用这一公理引起的。”

上面这些诠释的存在表明：在推导命题A时，人们用了一个自以为是天经地义的前提，而它却不适用于微观过程。但对于究竟是哪一个前提不适用于微观过程的问题，人们的意见不一致。

非分配逻辑诠释、洛查克的隐变量诠释以及阿卡迪的“量子概率诠释”都是鲜为人知的，下面我们将认真考察这三种诠释。

第一，试图用“非分配逻辑”来说明量子现象也像用“三值逻辑”来说明量子现象一样，有两个令人沮丧的困难：第一，我们必须借助于“布尔逻辑”来研究“非布尔逻辑”。第二，量子力学理论的数学工具是根据“布尔逻辑”展开的，如果要在“非布尔逻辑”的框架下，建立一种量子力学诠释，那么，这种诠释不仅要重新建立逻辑原理与物理学原理，而且还得重新建立数学原理，这是一个令人望而生畏的任务。

第二，洛查克的隐变量诠释断言概率论对于隐变量理论是适用的，只是不适用于被测量的“可观察量”。但我们即将看到，微观的事件空间是“非布尔”的，在其中某些布尔代数的规则不成立。如果在一个隐变量理论中，全部事件运算的布尔代数规则适用于隐变量，则为了使这个隐变量理论得出关于可观察量的事件运算的规则，即使可能，也会是极为复杂而生硬的。

第三，按照的概率论教程，频率定义的对象是“无条件概率”，而“条件概率”则通过乘法公式来定义。如果修改频率定义使它成为“条件概率”的定义，则会立刻否定了阿卡迪的诠释。

“修正的频率定义”可表述如下：

定义1：考虑如下过程：某一试验不断重复，其中在条件S下重复了N次，而在这N次重复实验的结果中，有NE个具有性质E。那么，当时N无限增大时，比值NE/N的极限就是在条件S下出现具有性质E的结果的概率，记作Pr(E|S）。即，

Pr(E|S)=lim[N→∞]NE/N。

而所谓“无条件概率”则具有如下意义：如果对于所考察的问题，所涉及的事件都是在一个共同的条件R条件下进行的，从而对于该问题，R是一个“先决条件”，则对于出该问题中的某一概率表达式来说，符号R 可以省去，即Pr(A|R∩B）可略写作Pr(A|B），而Pr(A|R）就可略写作Pr(A）。在这里，概率表达式Pr(A）就表示“无条件概率”了。

按照这种规定，一切概率都是条件概率，所谓无条件概率只不过是略去了条件符号的条件概率。

应用定义1，不难证明

Pr(E∩F|S)=Pr(E|S)Pr(F|E∩S）。⑹

如果⑹式中的S是所考察的问题的先决条件，则该式可略写成

Pr(E∩F)=Pr(E)Pr(F|E）。⑺

⑺式就是乘法公式，它不再是条件概率Pr(F|E）的定义，也不是一个公理，而是从频率定义导出的一个定理了。

阿卡迪断言⑺式不适用于微观过程，这诚然是一种极为独特的论点，似乎至今还没有得到其它人的支持。但这一论点也反映一个问题：把⑺式看作一个公理或看作条件概率的定义有可能使人怀疑其普遍有效性。而当我们从概率的频率定义导出⑺式时，这种可能性就不再存在了。

下面，我们对命题A的给出另一种推导，从另一角度排除上面三种诠释。

在电子的双缝衍射实验中，分别考察如下三个过程。

第一，设电子源平稳地发射着电子，在同时打开两条缝的条件下经历时间T，有N个电子落在屏幕上。如果命题B成立，则过程中通过第一条缝的电子数N1与通过第二条缝的电子数N2是确定的，而且通过第一条缝落在x上的电子数n1与通过第二条缝落在x上的电子数n2也是确定的，而落在x上的电子总数则是n1+n2。设e是落在屏幕上的N个电子之一，则根据概率的频率定义，当N足够大时，e落在x上的概率是

Pr(X)=(n1+n2）/N；

此外，e通过第一条缝的概率和通过第二条缝的概率可分别表成

Pr(E)=N1/N，Pr(F)=N2/N。

第二，假定其它条件保持不变，仅关闭第二条缝，同样经历时间T，则还是会有N1个电子通过第一条缝落在屏幕上，其中还是有n1个电子落在x上。在这一过程中，已知e肯定通过第一条缝，因此它落在x上的概率为

Pr(X|E)=n1/N1。

第三，同样，如果仅关闭第一条缝，则e落在x上的概率为

Pr(X|F)=n2/N2。

根据显然的数字关系

（n1+n2）/N=(N1/N)*(n1/N1）+(N2/N)*(n2/N2），

我们重新得到⑸式，从而重新得到命题A。上面的推导没有用到命题演算的分配律、概率的加法公式与乘法公式，从而排除了非分配逻辑诠释、德布罗意或洛查克的隐变量诠释以及阿卡迪的“量子概率诠释”

排除了这三个诠释，我们从命题A的推导似乎只能引出哥本哈根诠释。但是，还有一个隐蔽的前提在这里被忽略了。

概率假设

我们回到对命题A的第二种推导，这个推导也有一点小小的疏忽，其中有如下推理：

“设同时打开两条缝经历时间T，有N1个电子通过第一条缝，其中落在x上的电子数为n1。如果其它条件保持不变，仅关闭第二条缝，同样经历时间T，从而还是会有N1个电子通过第一条缝落在屏幕上，则其中还是会有n1个电子落在x上。”

这一推理默认了如下前提：“在双缝衍射过程中，通过某一条缝落在x上的电子数，与另一条缝的启闭（打开还是关闭）无关。”

为了用数学的语言表述这一命题，首先要承认“打开第二条缝”还是“关闭第二条缝”是不同是实验条件，在这两种实验条件下，通过第一条缝落在x上的电子数的含义不同，必须用不同的符号来表示。用n1和m1分别表示在打开和关闭第二条缝两种条件下通过第一条缝落在x上的电子数；用n2和m2分别表示在打开和关闭第一条缝两种条件下通过第二条缝落在x上的电子数，则上述推理默认的前提表成：

m1=n1，m2=n2，⑻

我们把第三节所考察的三个过程中的第二、第三两个过程合并成一个，即考虑如下两个过程：

过程U：同时打开两条缝经历时间T，有N个电子落在屏幕上。

过程V：假定其它条件保持不变，先关闭第二条缝，经历时间T，从而有N1个电子达到屏幕上；再打开第二条缝，关闭第一条缝，再经历时间T，从而有N2个电子达到屏幕上。在整个过程中，也有N个电子落在屏幕上。

在这里，过程U是在“两条缝同时打开”的条件下进行的，过程V则是在“两条缝分别轮流打开”的条件下进行的，由于两个过程的实验条件不同，有关的概率有不同的含义，必须用不同的符号来表示它们。如果还是用符号U和V表示这两个过程的条件，则按照概率论的通常写法，“在‘两条缝同时打开’的条件下的某一事件Y的概率”本应写成Pr(Y|U），但为了把U这一条件和其它条件区别开来，我们把这个概率表达式改写成PrU(Y）。同样，“在‘两条缝分别轮流打开’的条件下的Y事件的概率”写成PrV(Y）。如果Y事件的概率与两条缝“同时打开”还是“分别轮流打开”无关，则仍然写成Pr(Y）。

还是用e表示一个“落在屏幕上的电子”，E表示“e通过第一条缝”而F表示“e通过第二条缝”，X表示“e落在?上”，则根据概率的频率定义，当N足够大时，对于过程U，我们有：

PrU(X)=(n1+n2）/N；

PrU(X∩E)=n1/N，PrU(X∩F)=n2/N。

根据显然的数字关系

（n1+n2）/N=n1/N+n2/N，

我们有

PrU(X)=PrU(X∩E)+PrU(X∩F）。⑼

在过程V中，落在屏幕上的电子总数还是N。还是用m1和m2分别表示通过第一条缝落在x上的电子数与通过第二条缝落在x上的电子数，则有：

PrV(X∩E)=m1/N；PrV(X∩F)=m2/N。

于是⑻式表成：

PrU(X∩E)=PrV(X∩E）， PrU(X∩F)=PrV(X∩F），⑽

⑽式表示：

F：在双缝衍射过程中，单个电子e通过某一条缝落在x上的概率，与另一条缝的启闭无关。

⑼式和⑽式给出

PrU(X)=PrV(X∩E)+PrV(X∩F）。⑾

⑾式表示：

G：在双缝衍射过程中，在两条缝同时打开的条件下单个电子e落在x上的概率是在两条缝轮流打开的条件下单个电子e落在x上的两个概率之和。

如果说命题B表示静电场遵循迭加原理，那么命题G就表示“概率遵循迭加原理”。但由于命题G并不是一个实验事实，我们不能称它为“概率的迭加原理”。尽管如此，命题G曾经给我们带来长期的困扰，我们不得不一再提到它，因此它总得有一个名称，下面我们称它为“概率的迭加假设”。

考虑到x可以是屏幕上的任意区域，从命题G可以得到命题A。但是在导出命题G时，不仅用到命题B，而且还用到命题F，因此我们从双缝衍射实验得出的结论就不再是“命题B不成立”，而是“命题B与命题F不能同时成立”。

如果说命题B与常识是一致的，放弃它会导致“不可思议”的结论。那么，命题F却并非如此，人们接受这个前提仅仅是由于疏忽。因此，与其放弃命题B倒不如放弃命题F。因此，我们倾向于认为命题F并不成立，即倾向于认为“概率不遵循迭加原理”。在下一节，我们将证明这一结论。

回到第三节对命题A的推导，从其中的第一个过程，我们得到的⑸式是：

PrU(X)=Pr(E)PrU(X|E)+Pr(F)PrU(X|F）。⑿

这是概率论意义下的“全概率公式”。在两条缝同时打开的条件下，我们无法分辨一个落在x上的电子到底是通过第一条缝还是第二条缝，从而PrU(X|E）和PrU(X|F）是不能测量的。因此，⑿式根本不能与实验结果相比较，从而也就不可能与实验事实相矛盾。

再考虑另外两个过程，并且把PrV理解为“另一条缝关闭”的条件下的概率符号，相应地，把PrU理解为“另一条缝打开”的条件下的概率符号，则命题G表成

PrU(X)=Pr(E)PrV(X|E)+Pr(F)PrV(X|F）。⒀

从命题B只能导出⑿式，它是概率论意义下的全概率公式，而导出命题A的则是⒀式，它是“概率迭加假设”的另一种表达式。哥本哈根学派混淆了⑿式与⒀式，这才得出“从命题B可以导出命题A”的结论。

原理

⒀式表示PrU(X）、PrV(X|E）和PrV(X|F）三个可以测量的概率之间的关系，但这一公式并不成立，为了从理论上导出这三个概率之间的关系，我们必须找到一个具有如下性质的量：

第一，满足迭加原理；

第二，从它能计算出概率的测量值。

幸运的是，这个量已经找到，它就是“概率幅”。

费曼曾说：“概率幅”这一概念乃是量子力学的核心。实际上，“概率幅” 这一概念之所以重要，正是由于它满足迭加原理。对于双缝衍射实验，这个原理可表成：“单个电子通过某一信道落在屏幕上某处的概率幅，与另一信道是否打开无关。”

概率幅是一个复数，与跃迁概率Pr(B|A）对应的概率幅记作，根据量子力学，两者的对应关系是：

Pr(B|A)=||^2。

即Pr(B|A）是；的“模方”（绝对值的平方）。

和概率一样，概率幅也遵循加法公式和乘法公式。

像Pr(X）这样的“无条件概率”实际上还是有一个先决条件：“e是落在屏幕上的一个电子”。用S表示这一先决条件，则Pr(X）其实是Pr(X|S）的略写，其对应的概率幅是；。

在双缝衍射实验中，两条缝“同时打开”与“轮流打开”对于概率幅也是不同的条件。下面，我们用U和V分别表示在两条缝同时打开和轮流打开的条件下，事件“e落在x上”的概率幅。

根据概率幅的运算规则，我们有：

U=U*+U*；。⒁

概率幅的迭加原理在这里表成：

V=U，V=U。 ；⒂

上面两式给出

U=V*+V*；。⒃

比较静电场的迭加原理，这是概率幅的迭加原理在这里的另一种表达方式。

对⒃式的两边取模方，再借助于概率的测量值与概率幅之间的对应关系

PrU(X)=|U|^2，

PrV(X|E)=|V|^2，PrV(X|F)=|V|^2，

以及

Pr(E)=||^2，Pr(F)=||^2，

我们得到

PrU(X)=Pr(E)*PrV(X|E)+Pr(F)*PrV(X|F)+J。⒄

其中J是交叉项，它表现概率的干涉现象。

由于⒂式成立，⒁式和⒃式都可以略写成

=*+*；。⒅

如果略去不言而喻的条件S，则⒅式写成：

**

这是量子力学中的“态迭加原理”的一种表达式。

应用概率的乘法公式，⒄式表成：

PrU(X)=PrV(X∩E)+PrV(X∩F)+J。⒆

比较⒆式与⑼式，我们看到⑽式不成立，即命题F不成立，从而尽管有命题B也不能证明命题A成立。

如果没有概率幅的迭加原理，则⒁式作为概率幅的运算规则仍然成立，但我们不能从⒁式过渡到⒃式，从而不能导出表现概率的干涉现象的⒄式，而概率的干涉现象是最基本的量子现象。因此，如果没有概率幅的迭加原理，就不能说明概率的干涉现象。只有在这种意义下，“概率幅的迭加原理”或“态迭加原理”才是量子力学的一个基本原理。

另一方面，正如从静电场的迭加原理可以得出静电场的能量不遵循迭加原理一样，从概率幅的迭加原理可以得出概率本身不遵循迭加原理的结论。这样，“电子的运动不是轨道运动”在这里就成了一个多余的命题。

概率幅

上面，我们先后考察了表现“概率幅”这一概念的特征的两个问题：“概率的干涉”与“态迭加原理”。狄拉克和费曼都把“概率幅”的概念看作是量子力学的核心，正如费曼把表现“概率的干涉”的“量子行为”作为他的《费曼物理学讲义Ⅲ》一书的第一章的标题一样，在狄拉克1930年出版的《量子力学原理》一书中把“态迭加原理”作为该书的第一章的标题。

然而在《量子力学原理》一书中，狄拉克对“态迭加原理”的表述并没有应用“信道”的概念，因此他实际上用⒅式的表示概率幅的迭加原理，从而不能把表现概率幅运算规则的⒁式和表现概率幅迭加原理的⒃式的区别开来，这就无法把概率幅的迭加原理的含义说清楚，也就不能阐明概率幅的迭加原理与概率的干涉之间的因果关系。由于同样的原因，“态迭加原理”的含义也是不清楚的，狄拉克并没有正面回答如下问题：如果没有态迭加原理，将得不到哪些量子力学的结论。

难能可贵的是，狄拉克在出版了他的这一名着以后，并没有固步自封，相反，他继续探索，与时俱进。我的朋友关洪在他的《量子力学的基本概念》一书中（高等教育出版社1990年版p.123-p.132），引用狄拉克在1970年说的如下一段话来介绍他对“态迭加原理”的新认识。

“我们在原子理论中所得到的概率，是作为一种更加基本的量的数值的模方而出现的。……这种量叫做概率幅。”

“这给了我们一个非常不同于日常生活的概率概念。……存在这种概率幅的直接结果就是引起干涉现象。如果某一过程能够以几种不同的方式发生，像人们所说的由不同的信道发生，那么我们必须做的就是计算出对其中每一个信道的概率幅，然后把所有这些概率幅加起来，并且只有在完成了这种加法之后，我们才乘出模的平方，从而得出这一过程发生的概率的总结果。你可以看出，这一结果完全不同于我们对于各条信道相对应的各项单独取模的平方而得到的结果。正是这种差别引起充满着整个原子世界的干涉现象。”

在这里，晚年的狄拉克终于迈出了关键的一步，通过“信道”的概念来表述“概率幅的迭加原理”。如果狄拉克再向前迈一小步，就有可能把表现概率幅运算规则的⒁式和表现概率幅迭加原理的⒃式的区别开来，从而有可能确切地从“态迭加原理”导出“概率的干涉”现象。

另一方面，关洪在《量子力学的基本概念》一书的同一小节里，又介绍了费曼对概率幅的认识，他写道：（虽然我用了引号，但为了本文前后一致而对其中一个公式以及若干个用语作了修改。）

“概率相加规则是经典粒子观念的反映；而概率幅相加规则，即‘态迭加原理’，则是量子力学基本假设的基础。量子力学开创了以概率幅为基本量的全面统计描写，它既区别于使用概率迭加的经典粒子观念，又区别于直接用物理量表示表示振幅而不需要统计描写的经典波动观念。

“然而，虽然在量子力学诞生以前，人们没有使用过以概率幅迭加为基本原理的概率论，但这一套做法并不违背概率论的数学结构。譬如，⑾式即

PrU(X)=PrV(X∩E)+PrV(X∩F)

的失效并不意味着概率论里关于相互排斥的事件的条件概率相加的普遍定律不再成立。因为，事实上，上式右边的两个概率是在两条缝轮流打开的条件下的概率，而上式左边的概率则是两条缝同时打开的条件下的概率。条件不相同，本来就没有理由把上式看作是概率论的一个结论。只有在经典物理学的粒子观念支配下，只有在这种假定下，才可能把上式右边的两个概率当成两个相互排斥的事件的概率，因而遵从上式的相加规则。

“因为在量子力学中起作用的是概率幅的迭加，从而产生了干涉效应，概率迭加规则就不再成立。由此可见，上式的失效只能说明经典粒子概念的失效，并不说明概率论中的普遍定律不再成立。”

关洪指出：以上关于“舍弃概率迭加而采用概率幅迭加的意义”的基本论证，是费曼在提出路径积分的工作里首次提出的，而这种讨论和狄拉克晚年的说法的精神是一致的。

根据关洪的上述介绍，关于“概率的干涉”的问题，费曼向前迈出了决定性的一步：从概率论的全概率公式其实并不能导出命题A，只有从概率论的全概率公式和命题F的合取才能导出命题A。既然如此，他为什么还要继续坚持命题B已经失效从而继续坚持“电子的运动不是轨道运动”的结论呢？

费曼在这里实际上给出了一个替换的论据：“在经典物理学的粒子观念支配下，认为粒子只可能通过某一条缝，而这时它所没有通过的另一条缝是否开放，不会对它的行为有什么影响。”换句话说，费曼给出了如下论据：从命题B可导出命题F。

如果把“经典物理学的粒子”理解为“力学粒子”即“牛顿力学意义下的质点”，则费曼的这一论据是对的，但是，电子不是“力学粒子”而是“电学粒子”。在这里，像其它量子物理学家一样，费曼不幸忘记了电子有一个固有电磁场，而这就是对量子现象一切误解的根源。只要考虑到电子有一个固有电磁场就不难理解，虽然电子只可能通过某一条缝，但改变它所没有通过的另一条缝的启闭，将会改变它的固有电磁场的边界条件，从而会影响它的运动。

正如在其它量子现象中一样，电子在双缝衍射实验中的行为乃是大自然对“洛仑兹问题”的回答，这种行为可描述如下：

单个电子是粒子，它的运动是轨道运动；但是，每个电子都是一个动态的带电系统，从而都激发一个自身的“固有电磁场”。因此，一个电子束不仅有大量粒子，而且还有一个由同样多的固有电磁场迭加起来的总电磁场，它是电子束的固有电磁场，其宏观表现就是“德布罗意波”。因此，德布罗意波乃是电子束的诸粒子所激发的电磁波，换句话说，电子束的诸粒子乃是德布罗意波的波源。正如光波是离开波源的电磁波一样，德布罗意波乃是伴随着波源的电磁波。

在电子的双缝衍射实验中，考虑第三节定义的U与V两个过程。在过程V中，两条缝轮流打开，通过第一条缝的诸电子形成一个电子束A，通过第二条缝诸电子形成一个电子束B，A与B两个电子束先后到达屏幕上，各自形成自己的衍射图形。在过程U中，两条缝同时打开，通过第一条缝和通过第二条缝的诸电子仍然分别形成A与B两个电子束，但它们将同时到达屏幕上，形成一个单一的衍射图形。实验证明这个单一的衍射图形并不是在过程V中得到的两个衍射图形的迭加。这一事实可说明如下：

由于两个电子束A与B都有各自的德布洛意波，而德布罗意波作为电磁波，具有波的干涉与衍射的特征。因此，在电子束A与B同时到达屏幕上的条件下，德布罗意波在屏幕上的能量分布不是A与B分别到达屏幕上的条件下的能量分布的迭加。由于电子束的诸粒子与德布罗意波的相互作用，电子束的诸粒子的数密度分布正比于德布洛意波的能量分布。因此，在上面的两个过程中，诸粒子在屏幕上的位置分布也有所不同。

从狄拉克与费曼两位大师上面的工作我们看到，一个新世界观的胚胎已经在量子物理学的母体中形成。但是由于思维的惯性，他们终身也摆脱不了从过去的认识得出的结论：“电子的运动不是轨道运动”。而这一结论伴随着另一“量子力学的奥秘”，项目我们将考察这一“奥秘”。

量子相干

费曼说的双缝衍射现象所包括的“量子力学唯一的奥秘”，不仅因为它似乎显示了“经典概率论”不适用于微观过程，还因为它似乎显示了更令人绞尽脑汁的“量子退相干”现象。

在《费曼物理学讲义Ⅲ》一书中，作者构思了一系列理想实验，其中之一是：如果在电子的双缝衍射实验中加上一个光源，放置在第一块隔板的后面的两条窄缝之间，使我们“看得见”每一个通过电子到底通过的是第一条缝还是第二条缝，则屏上的衍射图形就失去干涉条纹。如果移去光源，则又会重新出现干涉条纹。“量子退相干”就是指这种由于“观测”而导致的相干性消失的现象。

波尔的“互补原理”对“量子退相干”作了如下解释：微观物体的运动具有粒子与波的双重属性，但在同一实验中二者是相互排斥的。在电子的双缝衍射实验中，测量粒子通过哪一条缝强调了电子的粒子属性，与粒子性互补的波动性便被排除了，从而导致干涉条纹的消失。

海森堡则用他的“测不准关系”对“量子退相干”作了如下解释：根据测不准关系，准确知道某一电子垂直于路径方向的位置，意味着不能准确知道该电子垂直于路径方向的动量，从而造成屏上干涉条纹的消失。费曼因此而把测不准关系表成：“不可能设计出这样的仪器，它能确定电子通过双缝中的哪一条缝，同时又不扰动干涉条纹。”

如果说量子力学是物理学的难点，那么“测量理论”就是量子力学的难点。而量子退相干现象就是量子力学的测量理论的中心问题。量子物理学家们关于“量子退相干现象”的意见可大致分成两种类型。

一种以冯·诺依曼为代表，他在《量子力学的数学基础》一书中提出了或许是最早的测量理论，其中有如下命题：

“观察者在测量终结时看到仪器指针的读数，是导致被测量的对象从不确定状态过渡到确定状态的决定性因素。因此，如果不提到人类意识，就不可能表述一个完备的、前后一贯的量子力学的‘测量理论’”。

按照冯·诺依曼的这种意见，“主观的介入”乃是量子退相干的根本原因，换句话说，量子相干性消失，归根结底是由于“人眼的一瞥”。

德国物理学家吉·路德维希则持的相反的观点，他拒绝“感觉”、“知识”和“意识”等用语出物理学中，并且把宏观仪器看成一个处于热力学亚稳态的宏观系统，把测量理解为宏观仪器受到微观系统的扰动向热力学稳态演化。因此，测量不再是“客体与主体之间的一个不可分的链环”，而是一个“微观系统与一个宏观系统之间的一个不可分的链环”。

意大利物理学家丹内里、朗格和普洛斯佩里在路德维希的工作的基础上建立了一种精致的测量理论，简称为D-L-P理论。按照这种理论，测量之所以导致量子态相干性的消失，是被观测的微观系统自身经历的一个具有“各态历经”特征的过程，并不需要“人眼的一瞥”。

在路德维希的工作的基础上建立另一种的测量理论是“退相干理论”，它把测量过程中量子态相干性的消失理解为由于“量子纠缠”而导致的一个动力学过程，即使观察者不在场也照样发生，其中仪器只不过起着“记录”的作用。

在这里，我们不去考察D-L-P理论与“退相干理论”之间的异同，仅提出如下问题：能不能用实验来判定路德维希的观点与冯?诺伊曼的观点孰是孰非？

让我们回到费曼的关于“观察电子”导致干涉条纹消失的理想实验。在这个实验中，我们满可以放置上光源而不观察电子，从实验结果是否出现干涉条纹就能判定测量过程是否要求“主观的介入”了。

费曼本人没有对这一问题给出确切的回答。他一方面说：“也许这是由于点上光源而把事情搞乱了？……我们知道，光的电场作用在电荷上时会对电荷施加一个作用力。所以也许我们应当预期运动要发生改变。不管怎样，光对电子有很大的影响。在试图跟踪电子时，我们改变了它的运动。也就是说，光对电子的反冲足以改变其运动，……这就是为什么我们不再看到波状干涉效应的原因。”按照这种作用机制，只要点上光源，不论我们观察不观察电子，干涉条纹都会消失。可另一方面，费曼又说：“假如电子没有被看到，我们就会发现干涉现象。”还说：“当我们观察电子时，它们在屏上的分布没有干涉条纹；当我们不观察电子时，它们在屏上的分布有干涉条纹。”照这么说，即使点上光源，只要我们不观察电子，干涉条纹就不会消失。

我们看到，费曼的上述回答是自相矛盾的。然而，如果想借助于费曼的理想实验来判断上面两个结论孰是孰非，困难并不在于费曼的上述回答，而在于如下事实：电子太小，我们不能在光的照耀下跟踪它。因此，还须作一些技术上的改进我们才能实现费曼的这个理想实验。在这里，我们提出如下建议。

判决实验

考虑一个连续地发射成对电子的电子源，让每一对电子都精确地朝相反的方向运行（或者精确地成某一角度），从而形成相向运动的两个电子束R与R’。让R通过一个开有双缝的隔板L，落在某一可以探测电子位置的屏上。同时，又让R’中的电子飞向一个与L极对称的另一隔板L’。这个隔板只有一条缝S，它有如下性质：设e是R中的一个落在屏上的电子，e’是它在R’中的配偶，则当且仅当e越过L的第一条缝时e’会越过缝S。这样，从e’是否越过缝S我们就知道e通过的是L的哪一条缝。下面，我们把这个实验记作T。

对于电子束R，实验T是一个双缝衍射实验。我们问：如果L上的双缝同时打开，屏上的电子分布会不会呈现出干涉条纹。

如果观察者跟踪R’的每一个电子，看它是否通过缝S，则观察者就间接地知道电子束R的每一个电子经过的是哪一条缝，从而命题B成立。按照费曼的意见，命题A也随之成立，从而屏上不会有干涉条纹。略去不言而喻的先决条件，我们可以把费曼的这一结论表成：

（a）如果观察者跟踪R’的电子，则干涉条纹将消失。

那么，如果其它条件不变，只是观察者不再跟踪R’的电子，干涉条纹会不会消失呢？

按照冯·诺依曼的意见，由于没有观察者的跟踪，对R’的电子的测量就少了“人眼的一瞥”这一决定性的最终环节。在这种残缺不全的测量过程中，该电子不会从“不确定状态”过渡到“确定状态”，从而屏上的干涉条纹不会消失。因此，

（b）只要观察者不跟踪R’的电子，干涉条纹就不会消失。

反之，如果测量是“微观系统与一个宏观系统之间的一个不可分的链环”，则有

（c)R在屏上的干涉条纹会不会消失，只与客观的实验条件有关，与观察者是否知道R’的电子的行为无关。

从命题（a）与命题（c）得出结论：

（d）即使观察者不跟踪R’的电子，干涉条纹也会消失。

这就是路德维希的意见。

于是，如果实验T的结果是（b），则路德维希的观点是错误的；如果实验T的结果是（d），则冯·诺依曼的观点是错误的。由此可见，实验T的结果至少会“证伪”上述两种观点中的一种。

然而，虽然（b）与（d）相互排斥，（c）与（d）却可以同时成立。因此，即使实验T出现了结果（b），也仅仅否定路德维希所预期的结果（d），却并未否定路德维希的基本观点（c）。如果仍然坚持基本观点（c），则从实验结果（b）将得出结论：命题（a）不成立。换句话说就是

（e）即使观察者跟踪R’的每一个电子，从而知道了R的每一个电子到底是经过哪一条缝，屏上仍然会有干涉条纹。

这是实验T可能出现的第三种结果。这种结果对量子力学来说意味着什么呢？

费曼曾经把测不准关系表成：不可能设计出一种仪器，它能在双缝衍射实验中确定电子到底是经过哪一条缝，而同时又不扰动干涉图案。他还说：测不准原理以这种方式“保护”着量子力学，如果谁设计出这种破坏测不准关系的仪器，量子力学的大厦就将倒塌，量子力学就以这样的冒险而又准确的方式继续存在着。

如果实验T出现了第三种结果（e），则它所用的仪器就是费曼所说的破坏测不准关系的仪器，从而给量子力学带来灾难。诚然，即使出现了这样的灾难，倒塌的也不是量子力学的形式体系，而只是费曼们对量子力学的诠释。

实际上，上面提到的各种测量理论，都确认一个前提：在实验T中，命题（a）肯定成立：如果观察者跟踪R’的电子，则干涉条纹将消失。而干涉条纹的消失，则起源于对电子束R’中的电子的观测，只不过对于不同的测量理论，被观测的电子将经历不同的过程。对于冯·诺依曼测量理论来说，它是最终由于“人眼的一瞥”而导致的一个从不确定状态过渡到确定状态的过程；对于D-L-P测量理论来说，它是由于被观测的电子自身的“各态历经”而导致的一个统计力学过程；对于“退相干理论”来说，它是由于“量子纠缠”而导致的一个动力学过程。所有这些理论都要求R’的电子与其R中的配偶有某种神秘的“非定域关联”。因此，如果爱因斯坦还活着，他大概会期待实验T出现第三种结果（e），因为这种结果有利于他心爱的“定域性原理”。

实验T的确有可能会出现结果（e），其根据不是高深的“定域性原理”，而是一个极为平凡的物理学命题：在电子的双缝衍射实验中，命题A不成立并不表明命题B不成立，而是表明电子通过某一条缝的运动与另一条缝的启闭有关。从电磁学的角度来说，这一见解不难理解：电子自己有一个固有电磁场，开启或关闭另一条缝，将会改变电子的固有电磁场的边界条件，从而间接改变电子的运动。按照这种见解，从双缝衍射实验并不能得出“测量导致量子退相干”的结论。

实验T可以有各种变形，例如用电子通过斯特恩-革拉赫装置的不同信道来取代电子通过不同的缝，这样，被观测的物理量就不再是电子的位置而是电子的自旋。或许，这种观测电子自旋的实验更容易实现。

实验T的结果似乎更加接近（d），即在观察者不去跟踪R'的电子时，屏幕上同样不会出现干涉条纹；然而，若对R'的电子进行一适当的测量以“擦除”其包含的信息，则当将该测量的结果p和R的电子打在屏幕上的位置组合起来时（例如，只观察p为某个值时的实验情况），则干涉条纹得以恢复，表明该从中无法发现干涉条纹的电子位置分布，事实上是两组干涉条纹的叠加。这些结果似乎又表明了（b）亦有其合理性，即“人眼的一瞥”可以最终决定干涉条纹是否出现。

问题概述

狭缝存在

在“杨氏实验”中，s是一很小的狭缝（或小孔），通过s的光照射到s1和s2上，在光屏上形成明暗相间的干涉条纹。同学们往往提出，这个狭缝s的存在是否有必要？若用一个普通光源代替s去照射s1和s2，光屏上能否出现干涉条纹？回答当然是狭缝s的存在是必要的。用普通光源代替s，光屏上不可能出现干涉条纹。因为干涉条件要求，只有同一波列自身之间才能发生干涉，不同的光源之间，以及同一光源的不同部分发出的光都不满足相干条件。由于狭缝s的存在，且s很小，光波到达s1s就成为发射柱面波（s若为小孔，则发射球面波）的波源。它们又各发出一个柱面（或球面）形次波。由于这两个次波来自同一个波面，因此它们的频率相同；由于s1与s2距离很近，因此振动方向近似一致；又由于s1和s2的振动位相差保持一定，所以这两列光波满足相干条件。这是利用分波阵面法获得相干光波的典型方法。

极限宽度

在实验中，如果把狭缝s的宽度逐渐变大，这时，会发现屏幕上的条纹逐渐模糊，以至最后消失。由此可见，要得到清晰的干涉条纹，狭缝s的宽度必须满足一定的条件。

在讨论双缝干涉条纹分布时，一般把缝光源的宽度看作是无限窄的。当考虑到缝有一定的宽度时，可以认为缝光源是由许多无限窄的缝组成。每个无限窄的缝光源可称为“线光源”，由每个线光源发的光射到双缝s1、s2上，将在屏上形成一组干涉条纹。由于各线光源的位置略有不同，到达s1、s2时引起的振动也略有不同，在屏上形成的干涉条纹亦将略有移动。如果一个线光源形成的亮纹恰好落在另一线光源形成的暗纹上，则这两个线光源的干涉条纹就完全抹平了。按照这一想法，就可以找出缝宽s的限度。

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如图所示，a1a2表示狭缝光源，宽度为a。它放在s1、s2对称的位置上．缝的中心s所对应的线光源在屏上产生的干涉条纹，在图上用实线表示．它的中央亮纹将正好位于对称平面与屏的交线上．考察缝的上边缘a1所对应的线光源，它到狭缝s1和s2的距离分别为r1和r2．如果r2-r1=λ/2⑴，则由a1发出的光到两缝将产生π位相差，这个位相差将使干涉条纹移动半个波长。即s的亮纹处正好是a1的暗纹处，s的暗纹处正好是a1的亮纹处。故条件⑴即是a1和a2条纹抹平的条件。当此条件满足时，a1至s之间的各点在屏上形成的干涉条纹将分别与s到a2之间的各点在屏上形成的干涉条纹一一对应地相互抹平。因此，整个狭缝a1a2在屏上的干涉条纹就完全抹平了。故条件⑴就是这个问题的基本条件。由此条件可以求出所对应的缝宽a，由图可知

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考虑到实际情况，l>>a、d，故可作近似展开：

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这就是作杨氏双缝实验时狭缝s的极限宽度。

下面作一点讨论，由上述结论看，l越大，d越小，允许的缝宽可以越大．不妨估计一下，当d=1mm，l=10cm，λ=0.5μm时，可得 a≈0.05mm。故一般实验上要想得到清晰的干涉条纹，a要比0.05mm小得多才行。但如果把一个很宽的缝放在几十米外，则还是可以观察到干涉现象的．夜晚透过纱窗观看远处的灯火，常常可以看到中心对称的四角花纹，实际上就是透过纱窗小孔的光相互间形成的干涉。远处灯火的线度并不小，在近处用它是不能形成干涉的，但放远了之后，l大了，允许的光源的线度就增加了。

双缝干涉

相干条件要求两相干光的频率相同，而在白光中各种波长都有，为什么会发生干涉？确实，白光中包含着各种频率的可见光，不同频率的光波是不相干的．但以两缝射出的白光中，相同频率的单色光之间能够发生干涉现象。s为白光光源时，由s发出的任一波长的任一列光波都照s1和s2上，所以s1中的任一列光波都能在s2中找到与其相干的一列波。s1和s是相干的白光光源，每一种波长的光在观察屏上都得到一组杨氏条纹。各种波长的杨氏条纹叠加起来便得到白光杨氏干涉图样分布。由于各种单色光在中央线上，相位差都等于零，振动都要加强，于是各单色的光在中央线上都显示明纹，因此中央明纹仍是白色的。又因中央明纹的宽度与波长成正比，所以各单色光的中央明纹宽度不同。于是在白色明纹的边缘彩带，紫光靠里，红光靠外。其它各级明纹也因单色光波长不同而分开，形成七色光带，有次序地循环排列。

基础理论

克里斯蒂安·惠更斯发现了光波传播的基本原理，怎样预测光波的传播于介质。光源发放出一系列的光波，就好似浮在水面上的浮标，被重复的拉起来，放下去，造成了水波的散发。他想出一种预测波前位置的方法。制造一组同尺寸的，圆心包含于一个波前的圆圈。它们的切线，经过联结与平滑后，形成一条连续的曲线，这就是预测的波前位置。依照这方法，可以展示出一个平面波前，或一个圆形波前，延伸的状况。 奥古斯丁·简·菲涅耳根据惠更斯的结果，证明了光的波动特性，与光在纯介质内，以直线传播的事实，并没有任何矛盾。他又照着惠更斯的想法，对于衍射与干涉现象，给予了一个合理的，完整的论证。

随着量子力学的发展，科学家对于光的物理特性有更多的了解，在一段短暂的时间内，传播至某一表面的一束光波意味着许多光子的到达，每一个光子都有它自己的波前。为了要了解在双缝实验里，真正发生了什么状况，我们必须知道，假若，光子是一个一个的发射出来，我们会观测到怎样的状况？1909年，杰弗里·英格拉姆·泰勒爵士做了一个关于这方面的双缝实验。这实验将入射的光波强度大大减低，在每一单位时间内，平均只有一粒光子被发射出来。每一个光子的波前通过两条狭缝后，这光子会显示于侦测屏障的某个位置。显示于这位置的概率，可以由通过两条狭缝后的两个概率波，在那位置的概率幅计算出来。两个概率幅的相加，取绝对值平方，就是概率。累积许多光子在侦测屏障的位置数据，泰勒爵士发现，显示于侦测屏障的干涉图案与原本的双缝实验图案相同。

物理重要

双缝实验是最先由英国科学家托马斯·杨设计与研究成功的。1801年，他用这实验来解答，光到底是粒子还是波的问题。从这实验观测到的干涉图案给予光的粒子观一个致命的打击。因为，经典的粒子理论无法满意地解释这实验的干涉图案。大多数的科学家从此接受了光的波动观。一直到20世纪初期，才再出现支持粒子观的实验证据。由于它可以很清楚简易地，探讨量子力学的中心迷云，双缝实验与它的各种变异，成为了许多理论物理家宠爱的思想实验。 1972年，理查德·西利托与C·威克斯（C.Wykes）将双缝实验修改，使得在任何时间，只有一条狭缝是开起的，另外一条狭缝是关闭的。这样，在任何时间，光子只能经过两条狭缝中的一条狭缝。虽然如此，他们仍旧能够成功地观测到光子的干涉图案。

1961年，蒂宾根大学的克劳斯·约恩松（ClausJönsson）创先地用电子来做双缝实验，他发现电子也会有干涉现象。1974年，皮尔·乔治·梅利（PierGiorgioMerli)，在米兰大学的物理实验室里，成功的将电子一粒一粒的发射出来。在侦测屏障上，他也确实的观测到干涉现象。2002年9月，克劳斯·约恩松的双缝实验，被《PhysicsWorld》杂志的读者，选为最美丽的物理实验。

物质波

不论是电子、质子，或是任何其它可以被视为是属于量子尺寸的粒子，在双缝实验里，粒子抵达侦测屏障的位置分布，是具有高度决定性的。我们可以用量子力学来精确地计算与预测，粒子抵达侦测屏障的位置的概率。可是，无法预侧，在什么时刻，在侦测屏障的什么位置，会有一个粒子抵达。这么一个无可争议的结果，是经过多次重复地实验而得到的。这结果给予了科学家极大的困惑。因为粒子抵达顺序的无法预测，意味着没有任何原由，而发生的事件，这是科学家非常不愿意接受的事实。他们试图制造更多的变量来解决这困难。 当电子一堆一堆地对着侦测屏障发射，人们可以很容易地解释所产生的干涉图案。人们只要认定这些电子互相地干涉。可是，随着科技地进步，现在已经发展出来，能够可靠地发射单独电子的科学器材。应用这单独电子发射器于双缝实验，得到的干涉图案，使人们觉得好像电子有独自干涉自己的可能，又觉得好像单独的电子可以同时通过两条狭缝。对于大多数的科学家，这观点似乎建议，量子粒子能够同时出现于两个以上的地方。可是这与显然正确的道理，“任何事件不能同时地发生在两个地方”，有很大的冲突（参阅无矛盾律）。对于这问题，最简单的方法，就是接受物质波的概念。另外一种较难被接受的概念，主张量子物质的存在与行为，是无法用经典方法来诠释的。这种概念，与人们日常体验的物理事实有很大的出入，会造成更多的困惑。

单独电子累积的的双缝实验干涉图案，与一堆电子的双缝实验干涉图案，两个干涉图案是相同的。所以，我们可以维持一个有秩序的，一致的宇宙观。虽然，对于任何量子尺寸的粒子，我们必须以物质波来看待。

近几年来的科学研究，更进一步地发现了，干涉现象并不只限制于像质子、中子、电子、等等，这些基本粒子。大分子构造，像富勒烯(C60)，也能够制造双缝实验干涉图案。

量子力学

在1920年代，许多实验，像光电效应，显示出光以离散的，粒子的形式，称为光子，与物质互相作用。

假设，有一种光源能够替代阳光。这光源，在任何时间，能够一个一个地发射光子。又假设，侦测屏障有足够的敏感度来侦测一个光子。则杨式双缝实验，在理论上，可以用光子一个一个的测试，结果会得到与原本实验相同的答案。经过一段时间的累积光子，侦测屏障会展示出一系列明亮或黯淡的条纹的干涉图样。这结果看来好像又确定，又否定波动观。假若，光的行为不是波动行为，则侦测屏障不会展示出干涉图案。假若，光的波动观成立，则光不会以量子的形式抵达侦测屏障。

让人们特别注意一个卓越的实验。在这实验里，有一个侦测器，称为狭缝侦测器，能够侦测到光子的行踪，光子会经过两个狭缝中的那一个狭缝？可是，当人们将狭缝侦测器打开后，人们所熟悉的干涉图案，就会消失不见，改变成另外一种图案。侦测这个动作，涉及了光子与狭缝侦测器之间的互相作用。这改变了光子的量子态。假设，两个同频率的光子，在同时间被发射出来，则这两个光子是相干性。将狭缝侦测器关掉，则两个同调光子，都会不被干扰地经过狭缝，同调地抵达侦测屏障。可是，假设，我们将狭缝侦测器打开，而两个同调光子之中的一个光子，被狭缝侦测器侦侧到，则由于光子与狭缝侦测器之间的互相作用，两个光子不再同调，不再互相干涉。所以，侦测屏障的干涉图案会消失不见。

哥本哈根诠释

在早期的量子力学里，许多先驱学者的共识，哥本哈根诠释，明确地阐明，人们不应该推断，在数学公式与实验结果以外的，任何涉及量子尺寸的理论。除了光子发射的时间与抵达侦测屏障的时间以外，在任何其它时间，人们不能够确定光子的位置。为了要确定光子在某个其它时间的位置，人们必须侦测到它。可是，当人们侦测到光子在某个其它时间的位置，也改变了光子的量子态，干涉图案也因此受到影响。所以，在发射的时间与抵达侦测屏障的时间之间，人们不能测试光子的位置。我们只知道，在发射的时候与抵达侦测屏障的时候，光子是存在的。在其它时间，光子完全地跟宇宙失去了连络。在双缝实验里，到底发生了什么状况，无从得知。

一个光子，从被太阳发射出来的时间，到抵达视网膜，引起视网膜的反应的时间，在这两个时间之间，人们完全不知道，发生了什么关于光子的事。或许这论点并不会很令人惊讶。可是，双缝实验发现了一个很值得注意的结果，假若，人们试着确定光子在发射点与侦测屏障之间的位置，我们也会改变双缝实验的结果。假若，用狭缝侦测器，来侦测光子会经过两个狭缝中的那一个狭缝，则原本的干涉图案会消失不见。

仔细的推理，应用于日常宏观经验里所发生的事件，告诉人们，一个粒子必须通过两条狭缝之中的一条狭缝。实验说明，必须有两条狭缝才能产生干涉图案。假设有一个狭缝侦测器，能够让人们知道，在抵达侦测屏障之前，粒子的位置。这狭缝侦测器的使用，会使展示于侦测屏障的干涉图案消失不见。令人费解地，假若，在光子抵达侦测屏障之前，人们又将这狭缝侦测器所测得的资料摧毁，那么，干涉图案又会重现于侦测屏障（参阅quantumeraserexperiment）。

路径积分表述

路径积分表述是理查德·费曼提出的一个理论（费曼强调这个表述只是一个数学描述，而并不试图描述，某些人们无法观察到的真实程序。）路径积分表述阐明，假设一个光子要从点A移动至点B，它会试着经过所有的可能路径，包括同时经过两个狭缝的路径。可是，假若，用狭缝侦测器，来侦测光子会经过两个狭缝中的那一个狭缝，实验的状况立刻改变了。点B变为狭缝侦测器，新的路径是从狭缝侦测器B到侦测屏障C。这样，在狭缝侦测器B与侦测屏障C之间，只有空旷的空间，并没有双缝。所以，干涉图案会消失不见。