正弦是一种数学术语，是基本物理概念。正弦是指在一个直角三角形中，锐角所对应的直角边与斜边的比，就叫做这个角的正弦。古代说法，正弦是股与弦的比例。正弦函数(蓝色)被对中心为原点的全圆的它的5次泰勒级数(粉红色)紧密逼近。

研究历史

古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，“勾”、“股”是直角三角形的两条直角边。

正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。

正弦=股长/弦长

勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。把直角三角形的弦放在直径上，股就是∠A所对的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。

现代正弦公式是

sin=直角三角形的对边比斜边.

如图，斜边为r，对边为y，邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r

无论a，y，r为何值，正弦值恒大于0小于1，即0

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA

即tanA=角A的对边/角A的邻边

同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的正弦，记作sinA

即sinA=角A的对边/角A的斜边

同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的余弦，记作cosA

即cosA=角A的邻边/角A的斜边

正弦函数

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sinx，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

相关公式

平方和关系

（sinα）^2+（cosα）^2=1

积的关系

sinα=tanα×cosα（即sinα/cosα=tanα）

cosα=cotα×sinα（即cosα/sinα=cotα）

tanα=sinα×secα(即tanα/sinα=secα)

倒数关系

tanα×cotα=1

sinα×cscα=1

cosα×secα=1

商的关系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

和角公式

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinβsinα

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)

倍角公式，半角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cosα)

sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

由泰勒级数得出

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

级数展开

sinx=x-x3/3!+x5/5!-…(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+…(-∞<x<∞)

导数

（sinx）'=cosx

（cosx)'=﹣sinx

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sinθ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2π或小于−2π的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数:

对于任何角度θ和任何整数k。

级数

正弦函数(蓝色)被对中心为原点的全圆的它的5次泰勒级数(粉红色)紧密逼近。

微分方程

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足微分方程

这就是正弦的微分方程定义。

数学术语

正弦函数﹑余弦函数﹑正切函数﹑余切函数﹑正割函数与余割函数合称为三角函数。