对数的定义：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

简介

函数y=a^x(a>0,a≠1)的反函数y=loga(x)(a>0,a≠1)叫做对数函数．

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

历史

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为

Nap．㏒x=107㏑(107/x)

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。

瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828…为底）。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯（1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用「假数」为「对数」。

我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。

概念与知识点

定义

在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数，则值为虚数)，底数则要大于0且不为1。

对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)】

通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm)，并且把logeN记为InN。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当a>0，a≠1时，aX=N→X=logaN。(N>0)

由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

在实数范围内，负数和零没有对数

logaa=1

log以a为底a的对数为1(a为常数)恒过点(1，0)

性质

定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函数无界。

定点：函数图像恒过定点(1，0)。

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数;

0<a<1时，在定义域上为单调减函数。

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab(其中a>0,a≠1，b>0)

当<a<1,0<b<1时，y=logab>0;

当a>1,b>1时，y=logab>0;

当0<a<1,b>1时，y=logab<0;

当a>1,0<b<1时，y=logab<0。

指数函数的求导:

e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2.718281828…

设a>0a!=1—-(loga(x))'

=lim(Δx→0)((loga(x+Δx)-loga(x))/Δx)

=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*loga((x+Δx)/x))

=lim(Δx→0)(1/x*loga((1+Δx/x)x/Δx))

=1/x*lim(Δx→0)(loga((1+Δx/x)x/Δx))

=1/x*loga(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)

=1/x*loga(e)

特殊地，当a=e时，(loga(x))'=(lnx)'=1/x。

—-设y=ax两边取对数lny=xlna两边对求x导y'/y=lnay'=ylna=a^xlna

特殊地，当a=e时，y'=(ax)'=(ex)'=e^lnex=ex。

运算性质

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

底数则要>0且≠1真数>0

并且，在比较两个函数值时：

如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a>1时)

如果底数一样，真数越小，函数值越大。(0<a<1时）

当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：

(1)loga(MN)=logaM+logaN;

(2)loga(M/N)=logaM-logaN;

(3)logaMn=nlogaM(n∈R)

(4)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1)

(5)a(log(b)n)=n(log(b)a)证明：

设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)

(6)对数恒等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b

(7)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M,

log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

表达方式

(1)常用对数：lg(b)=log10b(10为底数)

(2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)

e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义

与指数的关系

同底的对数函数与指数函数互为反函数。

当a>0且a≠1时，ax=N，x=㏒(a)N。

关于y=x对称。

对数函数的一般形式为y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、

可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。