数学上的一类公式，用于三角函数等价代换，可以用于方便我们化简式子，也方便运算。基本上可以从三角函数的函数图像中推理出诱导公式，也能从诱导公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化积，万能公式等。

基础公式

sin²α+cos²α=1

1+tan²α=sec²α

1+cot²α=csc²α

sinα/cosα=tanα

secα/cscα=tanα

cosα/sinα=cotα

角和与差

cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)

tan(α+β)=(sinα+sin(α+2β))/(cosα+cos(α+2β))

倍角公式

二倍角

sin2α=2cosαsinα=2tanα/（1+tan²α）

cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α－1

tan2α=2tanα/[1－(tanα)²]

二倍角变式

sin2α=sin^2(α+π/4)－cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)－1=1－2cos^2(α+π/4)

cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)

三倍角

sin3α=3sinα-4sin³α

cos3α=4cos³α-3cosα

tan3α=（3tanα-tan³α）/（1-3tan²α）

sin3α=4sinα×sin（π/3-α）sin（π/3+α）

cos3α=4cosα×cos（π/3-α）cos（π/3+α)

tan3α=tanα×tan（π/3-α）tan（π/3+α）

n倍角

根据欧拉公式(cosθ+i·sinθ)^n=cos（nθ）+i·sin（nθ）注：sinθ前的i是虚数单位，即-1开方）

将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-……

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-……

辅助角

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-sinα)/(1+sinα)]=cosα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

半倍角

sin²（α/2）=（1-cosα）/2

cos²（α/2）=（1+cosα）/2

tan²（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

半角变形

sin²（α/2）=（1-cosα）/2

sin(a/2）=√[（1-cosα）/2]（a/2在一、二象限）

或=-√[（1-cosα）/2]（a/2在三、四象限）

cos²（α/2）=（1+cosα）/2

cos(a/2）=√[（1+cosα）/2]（a/2在一、四象限）

或=-√[（1+cosα）/2]（a/2在二、三象限）

tan²（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）]（a/2在一、三象限）

或=-√[（1-cosα）/（1+cosα）]（a/2在二、四象限）

诱导公式

kπ+a

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

sec（2kπ+α）=secα

csc（2kπ+α）=cscα

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα

-a

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα

π-a

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=-cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα

sin（α-π）=－sinα

cos（α-π）=－cosα

tan（α-π）=tanα

cot（α-π）=cotα

sec(α-π)=-secα

csc(α-π)=－cscα

2π-α

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

sec(2π-α)=secα

csc(2π-α)=-cscα

π/2±a

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

3π/2±a

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

万能代换

正弦公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

余弦公式：cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

正切公式：tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差

sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）

和差化积

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

内角公式

设A，B，C是三角形的三个内角

sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）

cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos2α)/2/ncos^2(α)=(1+cos2α)/2/ntan^2(α)=(1-cos2α)/(1+cos2α)/n

证明方法

首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosBAD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。于是有cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB

由此易得以上全部公式。