一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数（这个常数通常用q来表示），且数列中任何项都不为0，即：A(n+1)/A(n)=q(n∈N*)，这个数列叫等比数列，其中常数q叫作公比。等比数列求和公式为：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等于1）。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。注：q=1时，an为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列

a（n+1）/an=q, n为自然数。

通项公式

an=a1*q^（n－1）。

推广式

an=am·q^(n－m)

求和公式

Sn=n*a1(q=1) 

Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) （q不等于 1）

性质

①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

注意

上述公式中A^n表示A的n次方。

n种求法

错位相消法

教材中介绍的方法叫做“错位相消法”。这个方法不仅可以用于等比数列，还可以用于等比数列与等差数列乘积的求和。

不同的方法

这里用不同的方法来证明这一公式的成立。首先要知道等比数列的求和公式，下面的方法有的是求解，有的是证明 

在这里要说明点的是，如果从极限的观点来看，当q=1与q≠1的时候，两个公式可以合二为一，具体可以参考《等比数列求和公式的统一》一文。一开始讲的，当然就是书本上的错位相消法了。为了方便起见，下面的证明过程只考虑q≠1的情况。

错位相消法(求解)

利用等比数列的定义：an+1=qan,有下面的式子成立；

比例法(求解)

根据等比数列的性质，an+1/an=q，所以有下面的式子成立；

裂项求和法(求解)

这个方法主要是对数列的通项公式进行变形，使之可以进行裂项求和；

指数函数法

这个方法是看到等比数列的通项公式是一个类似指数函数，从而可以通过构造函数的方法求得数列求和公式，构造函数f(x)=a1qx.则f(x+1)-f(x)=a1(q-1)qx.所以有下面的式子成立：

f(1)-f(0)= a1(q-1)q0.

f(2)-f(1)= a1(q-1)q1.

f(3)-f(2)= a1(q-1)q2.

……………………

f(n)-f(n-1)= a1(q-1)qn-1.

将上述各式左右相加并化简得：

f(n)-f(0)=a1(q-1)(q0+q1+q2+……+qn-1)=(q-1)Sn

而f(n)=a1qn,f(0)=a1，带入即可得到等比数列求和公式。

程法(求解)

此方法是构造两个关于Sn的方程，通过求解方程的方法求解Sn，消去Sn-1，解这方程组即可得Sn。

反向思维法(证明)

这种方法主要就是运用公式an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+……+bn-1)

特征方程法

还有一个特征方程法，特征方程是一个非常有用的工具，特别是在求解斐波拉契数列的通项公式中，特征方程起了非常大的作用。