托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

定理提出

一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

定义

指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

证明

1、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

在任意凸四边形 中(如图1)，作 使 , 连接 .

则

所以, 即 由 得 , 又 ,

所以 .

, 即

(1)+(2) , 得

又因为

(仅在四边形 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理” )

复数证明

用分别表示四边形顶点的复数，则 的长度分别是: 。首先注意到复数恒等式: ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条 件是 与 的辐角相等，这与四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不 等式的反演形式。

2、设是圆内接四边形。在弦 上，圆周角 ， 而在上， 。在上取一点，使得 ; 因为 ，所以 。因此 与 相似，同理也有 因此 ，且；因此，且；两式相加，得；但 ，因此 证毕。

3、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和). 已知：圆内接四边形 ，求证：

证明: 如图1，过作交于 ，使 ，又 ， . 得，。 又 ，，. 得 ，。(1)+(2)得 . 即

4、广义托勒密定理：设四边形 四边长分别为, 两条对角线长分别为，则有: 。

定理推广

推广

托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，

得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

推论

1.任意凸四边形，必有，当且仅当四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

运用要点

1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD