梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。梯形(trapezium)是指只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯形(isosceles trapezium)。等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。

概念

指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形，一腰垂直于底的梯形是直角梯形

分类

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，

两腰相等的梯形叫等腰梯形。

等腰梯形的性质

1．等腰梯形的两条腰相等

2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等

3．等腰梯形的两条对角线相等

4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线

5．等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一。注意：在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

判定

1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）

2．两腰相等的梯形是等腰梯形

3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

4．有一个内角是直角的梯形是直角梯形

5．对角线相等的梯形是等腰梯形．

6.梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。

周长、面积

梯形的面积公式

：（上底+下底）×高÷2。

等腰梯形面积公式

：中位线×高用字母表示：（a+b）×h÷2或l·h周长

梯形的周长公式

：上底+下底+腰+腰用字母表示：a+b+c+d

等腰梯形的周长公式

：上底+下底+2腰用字母表示：a+b+2c

对角线互相垂直的梯形

：对角线×对角线÷2

、如图（6），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2．求梯形的高。

解法1：如图(甲)，过A作AE∥DB交CB的延长线于点E。

∵AC⊥BD，

图（6）∴AC⊥AE．

∵AD∥EB，

∴AE=BD，EB=AD．

又∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD．

∴AE=AC．

∴△AEC是等腰直角三角形．

又AF是斜边上的高，故AF也为斜边上的中线．

∴AF=7cm

解法2：设梯形ABCD的两条对角线相交于O点，过O作OH⊥BC于点H，延长HO交AD于G点(如图(乙))．

∵AD∥BC，

∴HG⊥AD．

∵AB=DC，AC=DB，BC公共，

∴△ABC≌△DCB．

∴∠2=∠1．

又∵AC⊥BD，

∴△BOC是等腰直角三角形．

∴同理．

∴以下解答过程与解法1相同．

解法3：过D作DM⊥BC于点M(如图(丙))．

∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴AC=DB，∠ABC=∠DCB．

又∵AF=DM，

∴Rt△AFC≌Rt△DMB，

∴∠DBC=∠ACB．

又∵AC⊥BD，

∴∠DBM=∠ACF=45°．

∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形．AF=FC，DM=MB，

∴．以下解答过程与解法1相同．

点评：本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长．因此，在等腰梯形中，若两条对角线垂直，则这个梯形的高就等于中位线的长，梯形的面积就等于高的平方．

如图（7），在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AE=GF=GC．

(1)求证四边形AEFG是平行四边形；

(2)当∠FGC=2∠EFB时，求证四边形AEFG是矩形．

分析：本题考查有关三角形、四边形的综合证明．涉及到等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等．在解答过程中要注意证明格式、推理方式的规范化．

证明：(1)∵在梯形ABCD中，AB=DC，

∴∠B=∠C．

∵GF=GC，∴∠C=∠GFC，

∴∠B=∠GFC

∴AB//GF，即AE//GF．

又∵AE=GF

∴四边形AEFG是平行四边形．图（7）

(2)解：过点G作GH⊥FC，垂足为H．

∵GF=GC，

∴∠FGH=1/2∠FGC．

∵∠FGC=2∠EFB

∴∠FGH=∠EFB．

∵∠FGH+∠GFH=90°

∴∠EFB+∠GFH=90°

∴∠EFG=90°

∵四边形AEFG是平行四边形，

∴四边形AEFG是矩形．

备注

：梯形的底角可以指梯形中任意一个角，所以说“底角相等的梯形是等腰梯形”是不对的。