三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

定义

三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

性质

1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3. 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6. 三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。
7. 在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3。
8. 从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9. G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

性质证明

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。

根据重心性质知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，过O，A分别作a边上高OH'，AH,可知OH'=1/3AH

则，S=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S；

同理可证S=1/3S，

所以，S=S=S

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）

证明方法：

设三角形三个顶点为(x,y),(x,y),(x,y)平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：

(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)

=3x-2x(x+x+x)+3y-2y(y+y+y)+x+x+x+y+y+y

=3[x-1/3*(x+x+x)]+3[y-1/3*(y+y+y)]+x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)

显然当x=(x+x+x)/3,y=(y+y+y)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标

即其坐标为[(X+X+X)/3,(Y+Y+Y)/3]；

空间直角坐标系——横坐标：(X+X+X)/3，纵坐标：(Y+Y+Y)/3，纵坐标：（Z+Z+Z）/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

重心顺口溜

三条中线必相交，交点位置真奇妙，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，线段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好。