孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

存在无穷多个素数p，使得p+2是素数。

素数对（p,p+2）称为孪生素数。

在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p,p+2k）。k =1的情况就是孪生素数猜想。

基本介绍

孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想产生已久；在数学家希尔伯特在1900年国际数学家大会的著名报告中，它位列23个“希尔伯特问题”中的第8个问题，可以被描述为“存在无穷多个素数p，并且对每个p而言，有p+2这个数也是素数”。

孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。

由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。

1849年，波利尼亚克（Alphonse de Polignac）提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对 (p,p+2k)。k=1的情况就是孪生素数猜想。素数对(p,p+2)称为孪生素数。数学家们相信这个猜想是成立的。

2013年5月，张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素猜想的弱化形势，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对。这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。

相关证明

关键词:完全不等数,SN区间,LN区间，对应数段。

一。阴性合数定理和阴性素数定理

大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中。（n非0自然数，下同）

6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数（q)。

6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（NM两个非0自然数，N=〈 M，下同）

6乘以阴性上等数减去1等于阴性上合数。

6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）

6乘以阴性下等数减去1等于阴性下合数。

在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理

x=/=6NM+-（M-N）

阴性不等数不等于阴性上下两式。

6x-1=q

6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数。

二。阳性合数定理和阳性素数定理

6n+1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数(P)。

6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）

6乘以阳性上等数加上1等于阳性上合数。

6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）

6乘以阳性下等数加上1等于阳性下合数。

在6n+1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理

X=/=6NM+-（N+M）

阳性不等数不等于阳性上下两式。

6X+1=P

6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。

三。与孪生素数相对应的完全不等数

(X)=/=6NM+-(M+-N)

完全不等数,它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。

6(X)+1=P

6乘以完全不等数加上1等于阳性素数；

6(X)-1=q

6乘以完全不等数减去1等于阴性素数。

一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数.

并且完全不等数与孪生素数是一一对应的.

四。阴阳四种等数在自然数列中的分布概况

6NM+（M-N）=阴性上等数6NM-（M-N）=阴性下等数

6NM+（N+M）=阳性上等数6NM-（N+M）=阳性下等数

为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。

四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN+-（N+N）范围。

每一级别的上等数相邻两等数距离是6n+1，在自然数列中比例是1/（6n+1），阴阳两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n+1），（但实际是略少于这个比例，因每一级别的底部都没有这个级别的等数。）

每一级别的下等数相邻等数的距离是6n-1，在自然数列中的比例是1/（6n-1），阴阳两种下等数的每个级别的合计比例是2/（6n-1），（但实际是略少于这个比例，因每一级别的底部都没有这个级别的等数。）

在相对应的级别标准单位的连续自然数筛掉一个级别的四种等数后，剩下非该级别的自然数的比例是[(6N-1)(6N-3)]/[(6N+1)(6N-1)].并且是精准的。

五。四种等数大小数列的互相渗透

自然数列中在阴性方面有阴性上等数和阴性下等数两种数列；自然数数列在阳性方面有阳性上等数和阳性下等数两种数列。它们的级别有无限多，每一个级别的数列的等数也是无限多的。同一种等数级别不同的数列都是互相渗透而产生重叠，并以两级别的等数相邻距离的乘积而严格地渗透重叠的。

筛掉N及以下级别的所有等数用（6NN+6N）*3/5*5/7*9/11*11/13*……*(p-2)/p这个连乘式正好可以解决它们的渗透重叠关系。

四种等数数列之间都有互相渗透而重叠，只有同一级别阴阳上上数列和下下数列没有渗透。

如第一级别的阳性下等数，从4开始每隔5个自然数就是一个第一级别的阳性下等数，它的比例是1/5，只要大于3的任何连续5个自然数，第一级别阳性下等数的比例是1/5，并且永远不变。第一级别的阴性下等数从6开始每隔5个个自然数就是一个阴性下等数，它的比例是1/5,只要大于5的连续5个自然数，第一级别阴性下等数的1/5的比例也是永远不变的。这样第一级别的阴阳两种下等数的比例是2/5，在任何大于5的5个连续自然数这个比例也是永远不变的。第一级别的阴阳两种上等数2/7,只要是连续7的自然数这个比例也是永远不变的。由于上下两等数的互相重叠，它们的比例是20/35,为什么不是4/7,因为只有在大于7的连续35个自然数这个比例是不变的，如果连续7个自然数，它的比例有时是2/7,有时是3/7，有时是4/7.其它级别也是一样的。

如果这个级别的等数间隔距离是合数的，这个级别的等数都与前面级别的等数重叠的，所以这些级别就不用计算了。

这样就立出以下的计算公式：

（6NN+6N）*3/5*5/7*9/11*11/13*……*(p-2)/p

(6NN+6N)是一个自然数的大体表达式，P《=NN以内最大的素数。

六。对应数段与同步区间

对应数段和精准的比例计算一个级别的四种等数，只有在同一级别的对应数段为单位才是精准的比例，不然就有误差。一个N级别的标准单位是（6N+1）（6N-1）；在计算N级别及以下的四种等数，它们的对应数段是N级别及以下的所有有性素数（不包括2和3的素数）的乘积。对应数段的增大速度非常快。对应数段的对应位置一定要在大于最大级别的最小阴性等数。在这位置以上任何连续的对应数段为单位的自然数中，它们的自己的等数是一定的，比例是精准的（不包括大于它的级别等数）。

以对应数段为周期，对应的阴阳上下四种等数严密地分布在自然数列中。

计算一个以对应数段为单位的连续自然数中的对应级别中的四种等数用这个公式是非常精准的，但不能包括比这个级别大的等数，5*7*11*13*……*p*3/5*5/7*9/11*11/13*……*(p-2)/p=大于这些级别的等数和完全不等数。

由于每一个级别底部都没有本级别的等数和任何的标准单位中都有很多大于这些级别的等数，所以都会以挂另原因而产生误差，从而掩盖了这个公式的精准的实质。

2.与素数分布基本同步的SN区间

把自然数划分成12，24，36……以12为递增的一个个区间，这样的区间叫SN区间。即:

12（1+2+3+……+N）-12（1+2+3+……+(N-1)=(6N^2+6N)-[6(N-1)^2+6(N-1)]=12N

SN区间与四种等数分布是同步的。

在这样的区间内包括N级别及以下的所有四种等数数列的等数，并没有比N级别大的数列等数，与四种等数的级别是完全同步的，所以与素数的分布也是同步的。

七。每个大于S8区间内都有8个以上的完全不等数

在每一个SN区间只有存在1至N级别的四种数列等数，每一级别等数的比例是可以确定，由于上下级别的渗透。就可以拿以下式来计算S8区间的完全不等数的至少个数。

12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768

（由于计算的区间不是对应的标准单位，肯定会有误差，为保险起见，把各级别中合数也给算上，一个级别中上下两种等数的重叠则没有算。）

其他每一个SN区间可用这种方法计算.

随着区间的增大完全不等数计算的数量也会越来越多.以后都会超过8个.

八。误差分析

在计算任何区间的等数，由于标准的比例与计算的区间都不能整除，所以存在误差是一定，由于误差掩盖了等数的精准比例。

由于各个区间与相对应的标准单位不能同步，一个级别及以下的所有有性素数的乘积为这个级别的对应的标准单位，一个标准单位比对应的级别区间大得很多，如第一和第二两个级别的标准单位就有5005，第二个N区间只有24，在5005的连续自然数中就有许多比第二级别大得多的等数，所以计算出的数值大多会有误差。只有用标准的单位计算相对应的所有级别的等数才不会有误差，由于标准单位的增速比等数级别快得多，所以就没有所有等数级别的标准区间。

另外，可用最严格下取整的误差分析方法，将SN区间捆绑成1,2,4,8,16……2^(N-1)的LN区间.在每一个大于S8的SN区间计算都大于8个完全不等数,在每一个LN区间都有2^N-1级别等数数列, 每级级别有4种等数数列,每一级别一种等数筛一次误差极限是1.每一个LN区间误差极限是4*(2^N-1).

8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4

最严格下取整后大于L4的区间仍然还有4个完全不等数。

九。总结

根据以上的论证，在大于S8区间每一个SN区间都有8个以上的完全不等数.

严格的下取整后，大于L4的每一个LN区间都还有多于4个的完全不等数。

LN区间是无限多的，完全不等数与孪生素数对是一一对应的，所以孪生素数也是无限多的。

这个证明期待着权威的表态。

素数——那些因数除了1就是他们本身的数们——就像代数的原子一样。从欧几里得——他在2000年前证明了素数有无穷多个——开始，它们就让无数数学家们为之倾倒。

因为素数从根本上和乘法相关，理解他们和加法相关的性质就变得很困难。一些数学上最古老的未解之谜就和素数和加法相关，其中之一就是孪生素数猜想——存在无限多组差为2的素数对。另一个则是哥德巴赫猜想，这个猜想提出所有的偶数都可以表示为两个素数之和。

在自然数列的起始部分存在着大量的素数，但是随着数字变大，他们变得原来越稀少。举例来说，在前10个自然数里，40%都是素数——2，3，5和7——但是在所有的10位数里，仅有4%的数是素数。 在过去的一个世纪里，数学家们掌握了素数减少的规律：在大数中，连个素数之间的间隔大约是位数的2.3倍。举例说明，在100位的数中，两个素数的平均间隔大约是230。

但是这只是平均而言。素数通常比平均预计的更加紧密的出现，或者相隔更远。具体来说，“孪生”素数通常扎堆出现，比如3和5还有11和13，他们的差仅为2。而在大数中，孪生素数似乎从没有完全消失（目前发现的最大的孪生素数是3,756,801,695,685×2666,669-1和3,756,801,695,685×2666,669+1）。

1849年，法国数学家阿尔方·波利尼亚克提出了“波利尼亚克猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)。k等于1时就是孪生素数猜想，而k等于其他自然数时就称为弱孪生素数猜想（即孪生素数猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。

从那时开始，这些猜想的内在吸引力冠予了它们数学的圣杯的称号，虽然他们可能没有实际的应用价值。虽然有很多数学家们致力于证明这一猜想，他们还是不能排除素数的间隔会一直增长最终超过一个特定上限的可能。

1921年，英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想，通常称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”（即孪生素数猜想的强化版）。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。

2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面所取得的突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。

张益唐的论文在5月14号在网络上公开，5月21日正式发表[2] 。5月28号，这个常数下降到了6000万。仅仅过了两天的5月31号，下降到了4200万。又过了三天的6月2号，则是1300万。次日，500万。6月5号，40万。

在英国数学家TimGowers等人发起的“Polymath”计划中，孪生素数问题成为了一个在全球数学工作者中利用网络进行合作的一个典型。人们不断的改进张益唐的证明，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。在2014年2月，张益唐的七千万已经被缩小到246。

素数

质数（primenumber）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能整除以其他自然数（质数），换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）

100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100内共有25个质数。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。

如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。