一个正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。亦即n!=1×2×3×n。阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），其与伽玛函数的关系为：n!可质因子分解为，如6!=24×32×51。

内容

1751年，欧拉以大写字母M表示m阶乘，即M=1×2×3×m。

1799年，鲁非尼在他出版的方程论着述中，则以小写字母π表示m阶乘，而在1813年，高斯则以Π(n)来表示n阶乘。而用来表示n阶乘的方法起源于英国，但仍未能确定始创人是谁。直至1827年，由于雅莱特的建议而得到流行，现在有时也会以这个符号作为阶乘符号。

而最先提出阶乘符号n!的人是克拉姆（1808），后来经过欧姆等人的提倡而流行，直至现在仍然通用。

当n较大时，直接计算n!变得不可能，这时可通过斯特灵（Stirling）公式计算近似算或取得大小范围。

由fxccommercial提出,系fxccommercial本人发现并归纳整理成为一个新的数学定理猜想.这个公式描述的是，从大到小排列的n+1个数，对每个数取n次方，用(-1)^nC_n^k做系数，实现奇偶项数的差项和,则这列数的和为n!,目前fxccommercial已得到一个关于他的推论，经验证是正确的。历史上并没有人得到过类似的公式，可以认为它是人类对数学的又一个深刻的认识,但目前关于这个定理的证明尚无人能给出,笔者期待这个定理证明的解决。

约定∑_k=0_n表示对从0到n的n+1项求和,则该定理表述为:∑_k=0_n(-1)^k*C_n^k*(a-mk)^n=m^n*n!(a属于R,k,m,n属于N)n^k:n的k次方，^用来表示上标;a/b:a除以b;a*b:a乘以b，有时可以忽略*;n!:n的阶乘;[x]:不超过x的最大整数;:x的小数部分;a_n:数列第n项，_用来表示下标n;C_n^k:组合数，表示n个元素里取k个元素。

全排列

所谓阶乘数是指其最低位的基为1，即逢一进一，每高一位则基加一，即进位依次为二、三…，n位阶乘数共有n!个。如三位阶乘数从小到大依次为：000，010，100，110，200，210。设n元集合S={a0,a1,a2,…an-1}，则S的全排列与n位阶乘数一一对应。

对应方式为：从n个元素中选取第一个元素有n种方法，被选取的元素的下标值为0到n-1之间的一个整数，将这个数作为n位阶乘数的最高位，将剩下的元素按下标从0到n-2重新编号，重新编号时不改变它们的相对次序，则选取第二个元素有n-1种方法，被选取的元素的下标值为0到n-2之间的一个整数，将这个数作为n位阶乘数的次高位。

选取最后一个元素只有1种方法，被选取的元素的下标值为0，将这个数作为n位阶乘数的最低位，这样任何一种排列必可对应一个n位阶乘数，显然这种对应关系是一一对应的。问题：请用阶乘数法生成1到n的全排列。[算法设计]首先用最低位加一的方法依次产生所有的n位阶乘数，对任意一个n位阶乘数用上述方法求出其对应的排列。

参考程序[programex5(input,output);constmaxn=9;typearraytype=array[0maxn]ofinteger;vari,j,n:integer;a,b,p:arraytype;beginwrite('Inputn:');readln(n);fori:=0ton-1dob[i]:=0;whileb[n]=0dobeginfori:=0ton-1doa[i]:=i+1;fori:=n-1downto0dobeginp[i]:=a[b[i]];forj:=b[i]toi-1doa[j]:=a[j+1]end;fori:=n-1downto0dowrite(p[i],'');write('':20-2*n);b:=b+1;i:=0;whileb[i]>idobeginb[i]:=0;b[i+1]:=b[i+1]+1;i:=i+1endend;writelnend.解释程序。

计算

阶乘展开表示形式标量乘算法是椭圆曲线密码的一种快速标量乘算法。

计算n!时，当n不太大时，普通的科学计算机都可以计算，能够处理不超过数值的计算机可以计算至69!。

当n很大时，可以用斯特林公式估计。