在稳恒磁场中，磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。

安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。

安培环路定理是稳恒磁场中的一个重要方程，常用于分析具有某种对称性的电流体系的磁感应强度分布。

简介

它的数学表达式是

按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如图1所示）：

按图1中选定的闭合路径l的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为：

如果闭合路径l包围的电流等值反向，或者环路中并没有包围电流，则：

积分形式

B电流I在一个曲面S上的通量，等于B场沿着S的边缘闭合回路C的路径积分。采用国际单位制，原版安培定律的积分形式可以写为：

请注意到这方程有些模糊之处，需要特别澄清：

第一，边界曲线C的正向与曲面S的侧符合右手规则。

第二，（固定C）定理之成立与以C为边界S的的选择无关。

安培定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明（请参阅毕奥-萨伐尔定律）。在静磁学中，安培定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。

微分形式

根据开尔文－斯托克斯定理，这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程才成立。采用国际单位制，这方程表示为：

 。

磁场的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度。

缺点

原版安培定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程：

 。

其中，是B场，是磁常数，是总电流。

取散度于这方程，则会得到：

 。

应用一个矢量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以：

 。

这意味着电流密度的散度等于零：

 。

在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。

一个正在充电的电容器，左边的圆形金属板，被一个假想的封闭圆柱表面S包围。这圆柱表面的右边表面R处于电容器的两块圆形金属板之间，左边表面L处于最左边。没有任何传导电流通过表面R，而有电流I通过表面L。

举个经典例子，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面L的边缘为闭合回路C。应用安培定律：

为了解决上述难题，安培定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，麦克斯韦摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，麦克斯韦将位移电流项目加入了安培定律。

证明方法

如果在某个载流导体的稳恒磁场中可以找到一条闭合环路l，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，载流长直螺线管内磁场应用安培环路定理忽略了左右下的部分，证明并不是在环路上B的大小处处相等环路方向与磁感应强度方向相同处，B的大小方向处处相等。

对称环路

在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r的圆形环路l，

则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为

其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路l的环流为

式中积分是环路的周长。

于是上式可写成为

从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I有关，而与环路的大小、形状无关。

任意环路

在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。

在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为

H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为

直导线中心向线元的张角为，则有，所以有

可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。

那么B对整个环路的环流值为

上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。

不包围电流

在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如图2所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。

以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。从图2可以看出，而利用安培环路定理的证明之二的结论可知。

结论

所以有：

从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。

安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。

计算应用

利用安培环路定理求磁场的前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路l，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，这样利用安培环路定理求磁感强度B的问题，就转化为求环路长度，以及求环路所包围的电流代数和的问题，即

利用安培环路定理求磁场的适用范围：在磁场中能否找到上述的环路，取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。因此，只有下述几种电流的磁场，才能够利用安培环路定理求解。

1.电流的分布具有无限长轴对称性

2.电流的分布具有无限大面对称性

3.各种圆环形均匀密绕螺绕环

利用安培环路定理求磁场的基本步骤

1.首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；

2.根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路；

3.利用公式求磁感强度。