矩阵的秩是线性代数中的术语，定义为：在m×n矩阵A中，非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)或秩(A)。规定零矩阵的秩为零。

概述

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1：在m×n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1、3行和3、4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

定理

设A1，A2，… An是n阶方阵，则秩 (A1)+秩 (A2)+… + 秩 (An)≤ (t一1)n+秩 (A1…An)

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

变化规律

1、转置后秩不变

2、r(A)≤min(m,n)，A是m*n型矩阵

3、r(kA)=r(A)，k不等于0

4、r(A)=0 <=> A=0

5、r(A+B)≤r(A)+r(B)

6、r(AB)≤min(r(A),r(B))

7、r(A)+r(B)-n≤r(AB)

特别的，A：m*n，B：n*s，AB=0 -> r(A)+r(B)≤n

8、P，Q为可逆矩阵，则 r(PAQ)=r(A)

9、若Ax=B有解，则r(A)=r(A,B)

10、若A~B，则人r(A)=r(B)

11、若所有n阶子式为零，则r(A)=0

12、A中若有S阶非零子式，则r(A)≥S