牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

产生背景

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

牛顿迭代公式

设r是

的根，选取

作为r的初始近似值，过点

做曲线

的切线L，L的方程为

，求出L与x轴交点的横坐标

，称x为r的一次近似值。过点

做曲线

的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标

，称

为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，

称为r的

次近似值，上式称为。

用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程

线性化的一种近似方法。把

在点

的某邻域内展开成泰勒级数

，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

，以此作为非线性方程

的近似方程，若

，则其解为

， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

。

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

示例

欧几里德算法

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a – kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数

同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：

int Gcd_2(int a,int b)/*欧几里德算法求a,b的最大公约数*/

{

if (a<=0 || b<=0)/*预防错误*/

return 0;

int temp;

while (b > 0)/*b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值*/

{

temp = a % b;/*迭代关系式*/

a = b;

b = temp;

}

return a;

}

从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。

斐波那契数列

还有一个很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>2时）。

在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。

int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）数列

{

if (n < 1）/*预防错误*/

return 0;

if (n == 1 || n == 2)/*特殊值，无需迭代*/

return 1;

int f1 = 1,f2 = 1,fn;/*迭代变量*/

int i;

for(i=3; i<=n; ++i)/*用i的值来限制迭代的次数*/

{

fn = f1 + f2; /*迭代关系式*/

f1 = f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面

f2 = fn;

}

return fn;

}

C语言代码

double func(double x) //函数

{

return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;

}

double func1(double x) //导函数

{

return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;

}

int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数

{

double x1,x0;

int k;

x0=*x;

for(k=0;k

{

if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0

{

printf("迭代过程中导数为0!//n");

return 0;

}

x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算

if(fabs(x1-x0)

{

*x=x1; //返回结果

return 1;

}

else //未达到结束条件

x0=x1; //准备下一次迭代

}

printf("迭代次数超过预期！//n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度

return 0;

}

int main()

{

double x,precision;

int maxcyc;

printf("输入初始迭代值x0:");

scanf("%lf",&x);

printf("输入最大迭代次数：");

scanf("%d",&maxcyc);

printf("迭代要求的精度：");

scanf("%lf",&precision);

if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1） //若函数返回值为1

printf("该值附近的根为：%lf//n",x);

else //若函数返回值为0

printf("迭代失败！//n");

getch();

return 0;

}

matlab代码

定义函数

function y=f(x)

y=f(x）；%函数f(x）的表达式

end

function z=h(x)

z=h(x）；%函数h(x）的表达式

end

主程序

x=X;%迭代初值

i=0;%迭代次数计算

while i<= 100%迭代次数

x0=X-f(X)/h(X);%牛顿迭代格式

if abs(x0-X)>0.01；%收敛判断

X=x0;

else break

end

i=i+1;

end

fprintf('//n%s%.4f//t%s%d'，'X='，X，'i='，i) %输出结果

Python代码

Python代码以实例展示求解f(x) = (x-3）**3，f(x) = 0 的根。

def f(x):

return (x-3）**3 ’''定义f(x) = (x-3）**3'''

def fd(x):

return 3*((x-3）**2） ’''定义f'(x) = 3*((x-3）**2）

def newtonMethod(n,assum):

time = n

x = assum

Next = 0

A = f(x)

B = fd(x)

print('A = ' + str(A) + ',B = ' + str(B) + ',time = ' + str(time))

if f(x) == 0.0:

return time,x

else:

Next = x – A/B

print('Next x = '+ str(Next))

if A == f(Next): print('Meet f(x) = 0,x = ' + str(Next)) ’''设置迭代跳出条件，同时输出满足f(x) = 0的x值'''

else:

returnnewtonMethod(n+1,Next)

newtonMethod(0,4.0) ’''设置从0开始计数，x0 = 4.0'''