在复数域中，负数-1的平方根记为i(即i²=-1)，称为虚数或虚数单位。一个实数乘以i称为纯虚数，例如5i 就是一个纯虚数。

定义

形如的数叫作复数，其中是复数的实部，b是复数的虚部，全体复数组成的集合叫作复数集，用字母C表示。

复数，当b=0时，就是实数；当b≠0时，叫作虚数；当时．叫作纯虚数。

把复数表示成的形式，叫作复数的代数形式。

几何意义

从复数相等的定义我们知道，任何一个复数都可以用一个有序实数对(a，b)唯一确定，这样我们可以用建立了直角坐标系的平面来表示复数。

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，这样，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数与复平面内的点及向量是一一对应的，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。

从复平面上看,纯虚数显然有如下性质 z(z≠0)为纯虚数的充要条件是:对任意非零实数a,|z+a|=|z-a|。此性质可用来求解某些模方程(组)。

判别

实数、虚数、纯虚数的判别方法

学习了纯虚数的定义以后，通过这类题来巩固对纯虚数的理解，请看例题．

例题:m为何实数时，复数是实数?虚数?纯虚数?

分析：要明确什么是复数的实部与虚部?何时它们有意义?何时它们为零或非零?从而由实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求进行讨论。

解： 实部：。

虚部：。

 当时，Z是实数；

当 且时，Z是虚数；

当或时，Z是纯虚数。

说明：当时，实部无意义，在讨论过程中应排除掉。

小结：对这类题可归纳为如下题型。

欲判别复数

可化为解代数方程或不等式。

在实部、虚部都有定义的前提下：

实数(对应点在实轴上)；；

虚数(对应点不在实轴上)：；

纯虚数(对应点在虚轴上)：且；

对应点在原点：解方程组，

对应点在实轴上方：解不等式

对应点在虚轴左侧：解不等式；

对应点在复平面的第一象限内：解不等式组

其他情况类推．但应注意所讨论的范围必须在的定义域内。