赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(OttoHölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

很多不等式之间存在着或深或浅或直接或间接的关系，有时我们不一定能够看得出。只有深入挖掘，它们之间隐藏的微妙关系才会显现。

不等式

设E为Rn中的勒贝格可测集，f(x)，g(x)为E上p(p>1)次实值可积函数，g(x)为E上q(q>…当p=q=2时的赫尔德不等式特别称为施瓦兹（Schwarz）或柯西（Cauchy）不等式。注意若p=1，规定q=+∞…/n

证明

如果||f||p=0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。

如果||f||p=∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0，∞)内。

如果p=∞且q=1，那么几乎处处有|fg|≤||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p，q∈(1，∞)。

分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：/n我们现在使用杨氏不等式：/n对于所有非负的a和b，当且仅当时等式成立。/n两边积分，得……/n这便证明了赫尔德不等式。

在p∈(1，∞)和||f||p=||g||q=1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有。

更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0，∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α，β>0（即α=||g||q且β=||f||p），使得：μ-几乎处处(*)/n||f||p=0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。