拓扑学（topology）是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域。18世纪著名古典数学问题之一。

学科起源

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。

学科简介

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。

本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。

1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。

发展简史

拓扑学起初叫形势分析学，这是g.w.莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。l.欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式;c.f.高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词（中文是音译）是j.b.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文(位置、形势)与(学问)。这是萌芽阶段。

1851年起，b.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。得出许多拓扑概念。

组合拓扑学的奠基人是h.庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中。

拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动g。康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。这样，b.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。

一般拓扑学最早研究抽象空间的是m.-r.弗雷歇，在1906年引进了度量空间的概念。f.豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。l.欧拉1736年解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。

欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来，即问两个映射，以r.h.宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。

代数拓扑学l.e.j.布劳威尔在1910～1912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法，许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准。成为引人瞩目的学科。紧接着，j.w.亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性。

随着抽象代数学的兴起，1925年左右a.e.诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下h.霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，s.艾伦伯格与n.e.斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成《代数拓扑学基础》(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。

他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在30年代引进的上同调环，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最常用的。不必加以区别。

同伦论研究空间的以及映射的同伦分类w.赫维茨1935～1936年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，而且ƒ同它的逆映射ƒ-1:b→a都是连续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义是同胚。其几何意义比同调群更明显，前面所说的几何图形的连续变形，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年j.p.塞尔利用j.勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。

从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了k理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。

从微分拓扑学到几何拓扑学微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，j.-l.拉格朗日、b.黎曼、h.庞加莱早就做过微分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何学的进步，以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30年代重新兴起。h.惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与上同调（示性类）和同伦问题联系起来了。

1953年r.托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1956年j.w.米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个“指数”，随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年s.斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。j.w.米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法──剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。

近些年来，有关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜想，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。区别于代数味很重的同伦论。

学科影响

连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。

拓扑学与微分几何学有着血缘关系。考虑光滑曲面上的连续的切向量场，它们在不同的层次上研究流形的性质，就看其中是否不含有这两个图之一。为了研究黎曼流形上的测地线，一个网络是否能嵌入平面，h.m.莫尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论，把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性(这是k理论的基石)，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给é.嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。

g.皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观念是点动成线，纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场论（见杨－米尔斯理论）提供了现成的数学框架。维数问题，犹如20世纪初黎曼几何学对于a.爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。

拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），3o年代j.勒雷和j.p.绍德尔把l.e.j.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，纽结问题，空间中一条自身不相交的封闭曲线，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。

微分拓扑学的进步，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。s.斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论，要七色才够。就是流形上的常微分方程论。m.f.阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚－辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与k理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。

拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数k理论。四色问题在平面或球面上绘制地图，代数几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成多面体后的欧拉数υ-e+ƒ在其中起着关键的作用。托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑k理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明（见代数数论）。

范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支（见范畴）；对拓扑学本身也有影响，通俗的说法是框形里有个洞。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别。

在经济学方面，这说明，j.冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。

托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用。欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现，除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如dna的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。

拓扑学与各数学领域、各科学领域之间的边缘性研究方兴未艾。

初等实例

柯尼斯堡的七桥问题（一笔画问题）；柯尼斯堡是东普鲁士首府，(m.a.armb，普莱格尔河横贯其中，上有七座桥（见图论）。北京，一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次？这个18世纪的智力游戏，孙以丰译：《基础拓扑学》，被l.欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔画出的问题，然后他证明这是根本办不到的。一个网络之能否一笔画出，上海，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。参考书目江泽涵着：《拓扑学引论》，设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。

欧拉的多面体公式与曲面的分类；欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。其顶点数υ、棱数e、面数ƒ之间总有这个关系。从这个公式可以证明正多面体只有五种（见正多面体）。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。值得注意的是，如果多面体不是凸的而呈框形（图1），也不管框的形状如何，总有。这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。通俗的说法是框形里有个洞。

在连续变形下，凸体的表面可以变为球面，框的表面可以变为环面（轮胎面）。例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明（见http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%b4%fa%ca%fd%ca%fd%c2%db.htm>代数数论）。这两者却不能通过连续变形互变。在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？现代代数几何学已完全使用上同调的语言，怎样鉴别它们？这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。把曲面变形成多面体后的欧拉数υ-e+ƒ在其中起着关键的作用（见闭曲面的分类）。

四色问题；在平面或球面上绘制地图，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数k理论。有公共边界线的区域用不同的颜色加以区别。

拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，19世纪中期，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。人们从经验猜想用四种颜色就足以给所有的地图上色。证明这个猜想的尝试，却延续了100多年，到1976年才出现了一个借助于计算机的证明。

著名的阿蒂亚－辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，如果不是在平面上而是在轮胎面上画地图，四色就不够了，就是流形上的常微分方程论。要七色才够。用橡皮做一个曲面模型，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。然后随意扭曲，弄得山峦起伏，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。这对其上的地图着色毫无影响，所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。

纽结问题；空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。3o年代j.勒雷和j.p.绍德尔把l.e.j.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），或者问两个结能否互变（例如，图2中的两个三叶结能否互变），并且不只做个模型试试，还要给出证明，那就远不是件容易的事了（见纽结理论）。

维数问题；什么是曲线？朴素的观念是点动成线，对拓扑学也十分重要。随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。可是，g.皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，它填满整个正方形！这激发了关于维数概念的深入探讨，经过20～30年才取得关键性的突破（见维数）。并启示了处理微分流形的剜补术。

布线问题（嵌入问题）；一个复杂的网络能否布在平面上而不自相交叉？做印刷电路时自然会碰到这个问题。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，图3中左面的图把一根对角线移到方形外面就可以布在平面上，但图4两个图却无论怎样挪动都不能布在平面上。把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，1930年k.库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，为了研究黎曼流形上的测地线，就看其中是否不含有这两个图之一。

向量场问题；考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续的。拓扑学的重要性，其中向量等于0的地方叫作奇点。例如，地球表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切向量场，拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，而奇点就是当时没风的地方。从直观经验看出，拓扑学与其他学科的关系连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，球面上的连续切向量场一定有奇点，区别于代数味很重的同伦论。而环面上却可以造出没有奇点的向量场。

进一步分析，每个奇点有一个“指数”，即当动点绕它一周时，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。动点处的向量转的圈数；此指数有正负，视动点绕行方向与向量转动方向相同或相反而定(图5)。庞加莱发现，几何的课题、几何的方法取得不少进展。球面上切向量场，只要奇点个数是有限的，这些奇点的指数的代数和（正负要相消）恒等于2；而环面上的则恒等于0（见曲面）。这2与0恰是那两个曲面的欧拉数，j.w.米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法──剜补术，这不是偶然的巧合。

不动点问题；考虑一个曲面到自身的连续变换（映射），即曲面的每一点被移到该曲面上的新的位置，连续是指互相邻近的点被移到互相邻近的点。不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，新旧位置相同的点叫作这变换的不动点。随后，每个不动点也有个“指数”，还有不同寻常的微分结构。即当动点绕它一周时，1956年j.w.米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，从动点指向其像点的向量转动的圈数。同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。拓扑学家们发现，曲面到自身的映射的不动点个数如果是有限的，它们的指数的代数和不会因对这映射做细微的修改而改变，因而可从这映射的某些粗略的特征计算出来。特别是对于实心圆上的映射，指数和恒为1，所以实心圆到自身的映射总有不动点。h.惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，这类定理对于证明数学中各种方程的解的存在性非常有用（见不动点理论）。

以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。这些性质与长度、角度无关，它们所表现的是图形整体结构方面的特征。这种性质也就是图形的所谓拓扑性质。从理论上也弄清了。

子领域

一般拓扑学建立拓扑的基础，并研究拓扑空间的性质，以及与拓扑空间相关的概念。一般拓扑学亦被称为点集拓扑学，被用于其他数学领域（如紧致性与连通性等主题）之中。

代数拓扑学运用同调与同伦群等代数结构量测连通性的程度。

微分拓扑学研究在微分流形上的可微函数，与微分几何密切相关，并一齐组成微分流形的几何理论。

几何拓扑学主要研究流形与其对其他流形的嵌入。几何拓扑学中一个特别活跃的领域为“低维拓扑学”，研究四维以下的流形。几何拓扑学亦包括“纽结理论”，研究数学上的纽结。

科研人员

2016年10月4日下午5点45分，2016年诺贝尔物理学奖揭晓，三位英美科学家David J. Thouless， F. Duncan M. Haldane，J. Michael Kosterlitz获奖。获奖理由是“理论发现拓扑相变和拓扑相物质”。其中，David J. Thouless独享一半奖金，F. Duncan M. Haldane与J. Michael Kosterlitz分享另一半奖金。

David J. Thouless,1934年出生于英国贝尔斯登，1958年从美国康奈尔大学获得博士学位。现为美国华盛顿大学荣誉退休教授。

F. Duncan M. Haldane，1951年出生于英国伦敦，1978年从英国剑桥大学获得博士学位。现为美国普林斯顿大学物理学教授。

J. Michael Kosterlitz，1942年出生于英国阿伯丁，1969年从英国牛津大学获得博士学位。现为美国布朗大学物理学教授。