积分发展的动力来自于实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

释义

找出被积函数中一函数或解一微分方程的演算。

比赛分数的总和。

出处

《穀梁传·文公六年》：“闰月者，附月之餘日也，积分而成於月者也。”

范宁注：“积众月之餘分，以成此月。”

《元史·选举志一》：“泰定三年夏六月，更积分而为贡举，并依世祖旧制。”

明苏伯衡《送楼生用章赴国学序》：“业成然后积分，积分及格然后私试。”

《清史稿·选举志一》：“积分歷事之法，国初行之。监生坐监期满，拨歷部院练习政体。”

微积分学

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中：[F(x) + C]' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作 。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则 ，其中C为任意常数。例如， 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S。

为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0<x1<…<xn=b，取ζi∈[xi-1，xi]，记Δxi=xi－xi-1，，则pn为S的近似值，当n→+∞时，pn的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在[a，b]上的函数y=f（x），作分划a=x0<x1<…<xn=b，若存在一个与分划及ζi∈[xi-1，xi]的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为f（x）在[a，b]上的定积分，表为即 称[a，b]为积分区间，f（x）为被积函数，a，b分别称为积分的上限和下限。当f（x）的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式。

以上讲的是传统意义上的积分也即黎曼积分。