三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。内心原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。直角三角形的角平分线到角两边的距离相等。直角三角形三条角平分线的交点叫内心，即内切圆的圆心。直角三角形的内心到三边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

详细释义

内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。

若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

性质

设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 。

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3、r=S/p。

证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。

9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。

10、内角平分线分三边长度关系：如图1：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC

证明：由正弦定理得

b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，

∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.

又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，

∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC

11、内切圆半径

证明

在△ABC中

∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等

∴ 内心距三边距离都相等

即在三条角平分线的交点处。