顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。与圆相切的直线，同圆内弦相交所形成的夹角叫做弦切角。顶弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

弦切角定义

如图所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理

概念及其证明

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

等于它所夹的弧的圆周角度数。

如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵PC²=PB×AP

∴PC/AP=PB/PC

又∵∠CPB=∠BPC

∴△CAP∽△BCP

∴∠CAP=∠BCP

∴∠TCB=∠BAC

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

衍生问题及其证明

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

证明：分三种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径

∴弧CmA=弧CA

∵弧CA为半圆,

∴弧CmA的度数为180°

∵AB为圆的切线

∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

（2）圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，

连接EC、ED、EA。则

∵弧CD=弧CD

∴∠CED=∠CAD

∵AD是圆O的直径

∴∠DEA=90°

∵AB为圆的切线

∴∠BAD=90°

∴∠DEA=∠BAD

∴∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC

又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

（3）圆心O在∠BAC的外部

过A作直径AD交⊙O于D，连接CD

∵AD是圆的直径

∴∠ACD=90°

∴∠CDA+∠CAD=90°

∵AB是圆O的切线

∴∠DAB=90°

∴∠BAC+∠CAD=90°

∴∠BAC=∠CDA

∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

弦切角定理逆定理

定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。

几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。

注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。

该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。

几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。

证明：如图，同样分类讨论

（1）当∠BPA=90°时，AB为直径。

∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC

经过直径的一端，并且与直径垂直的直线是圆的切线，∴AC是⊙O的切线，切点为A。

（2）当∠BPA<90°时，作直径AD，连接PD，则∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB

∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB

即∠DAC=∠DPA=90°

由（1）得AC与⊙O切于A

（3）当∠BPA>90°时，作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD

∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD

即∠DAC=∠DPA=90°

由（1）得AC切⊙O于A

推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

应用举例

例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交于点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：∵AC、BC是⊙O的两条切线，

∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的圆与BC相切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

求证：EF//BC.

证明：连接DF

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD

∵∠EFD=∠BAD

∴∠EFD=∠CAD

∵⊙O切BC于D

∴∠FDC=∠CAD

∴∠EFD=∠FDC

∴EF∥BC

例3:如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠A+∠B=∠A+∠DCA

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD。