超正方体其实就是凸正多胞体中的正八胞体，是四维空间中立方体的类比，4-4边形柱，有8个立方体胞。超立方体没有角度概念，但是任何一个顶点达到相邻顶点的距离都是相等的。这和正六百胞体十分相似。就像人们能从三维图形在二维的投影，想象出三维空间的形状一样，我们也可以通过四维方体在三维空间的投影，想象四维方体的具体外形。由此就延伸出了施莱格尔投影的概念。

简介

超立方体，又被称为正八胞体(8-cell,Regular octachoron)，立方体柱(Cubic prism)，4-4边形柱(4-4 duoprism)，是一个四维空间里的几何产物。

投影

施莱格尔

四维方体不易想象，但可以投射至3维或2维空间。在2维平面的投射，把顶点位置调整后，可以了解更多。如此获得的图像，不再反映四维方体空间构造，而是反映顶点间的联系。

看到的三维物体是经过一次投影之后呈现在视网膜上（纸上，屏幕上），但四维立方体不能通过普通投影的方式让人们看见只能先投影成三维的物体，再经过一次投影才能到视（网膜上，纸上，屏幕）

对于生活在三维空间的人类来说，四维世界是很神秘的概念。正像生活在二维世界里的小人（如果存在）很难想象三维世界一样，我们同样难于想象四维世界。不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界。

在二维世界里（不考虑时间轴）要把不透明图形简化的只有顶点（二维物体中的零维框架）之后二维（如果存在）小人才能看得到内部，在我们在三维世界里要简化到凌长（三维物体中的一维框架）才能看到物体内部。所以二维小人（如果存在）研究三维立方体只会先把三维立方体的顶点投影在二维平面上，在投影成一条一位的直线。

思维方式

如果四维超正方体不太好想象的话，换成球试试。三维球，无论从哪个方向投影在二维平面上都只是一个半径等同的圆形，这样就很容易想到四维球在三维世界中的投影只不过是一个半径等同的球了。如果还想要讨论得深入一些，不妨试试球穿越问题。比如说一个球穿过一个二维平面，二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点，后来眼看着扩张成圆，又慢慢缩小成点，最后突然消失。

如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪，那么以下的情形你定会吃惊不小；在你面前无中生有地出现一个点，扩成球又缩回点，再突然消失。多么神奇！其实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。

这里讲一种思维方式，当不能够理解四维的某些描述的时候，试着把自己当作二维人生活在扁平的世界里看三维(你能够理解，但是你的描述是受限的)。

简单描述：

1、超立方体无2维距离、角度概念。

2、超立方体中任何一顶点以恒定速度到相邻顶点所用时间相等。(所有边长相等)

球极投影

将一个立方体的各个表面膨胀，一段时间后会得到一个球。

同样的方法，将超正方体的表面膨胀，会得到一个“超球”(Hypersphere)。

置身于超正方体膨胀成的超球中的时候，就会看见右图的这个情景——此时置身在“最外部”的立方体（当然是膨胀了的）面上平行投影。

上面的两种其实都属于透视投影——实际上立方体的平行投影是绝对不会出现一大一小大正方形。

四维超正方体不但可以投影到三维，而且也可以直接投影到二维平面上（是直接，不经过三维），但是由于是投影在二维上，会失真得很厉害所以只能够表现一些点与线之间的连接关系。

右图是超正方体的二维线架正投影，ABCD分别是四个轴，注意“相邻”两根轴的夹角都是45度的。16个顶点坐标分别是(±1,±1,±1,±1)（下文有简单推导），然后按照给出的一个一个填上去就是的了（方法说上去有点烦，可以用几何画板画画这个投影，其实蛮简单的）。

展开图

大家一定知道把立方体的六个面展开的样子吧，其中一种展开法如右图。

类比一下，即可得到超正方体的其中一种展开法，如最右图，其中一个立方体被藏在三维展开图里边了。

看上去很奇怪是吧，这八个立方体在我们的世界里无论怎么翻转也不能组成一个超正方体的，它们必须在四维空间里旋转——这个比方就好比二维小人不会明白那六个正方形怎么转才能拼成一个立方体一样的道理。

规律

零维的一个点，包含一个零维元素（点）

一维的一条线段，包含一个一维元素（线段），两个零维元素（端点）

二维的一个正方形，包含一个二维元素（面），四个一维元素（边），四个零维元素（顶点）

三维的一个正方体，包含一个三维元素（三维立体），六个二维元素（面），十二个一维元素（棱），八个零维元素（顶点）

对比下列算式：

(x+2)^0=1

(x+2)^1=x+2

(x+2)^2=x²+4x+4

(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8

可以归纳出：一个n维立方形(n-cube)所包含的k维元素个数等于(x+2)^n展开式的k次项系数。

(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16

可以得出：超正方体有8个立方体（胞），24个面，32条线段，16个点。

这有助于我们印证四维超正方体的构造。

坐标

超正方体的顶点坐标可以用类比的方式推导：

正方形的坐标：（±1，±1）

正方体的坐标：（±1，±1，±1）

那么类比可以得到四维超正方体的顶点：（±1，±1，±1，±1）

与十六胞体

将正八胞体中每个正方体中心作中心所在正方体的正方形面垂线得正十六胞体，正十六胞体作类似处理也可以得正八胞体。