微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

概念

定义（1）

含有未知函数的导数或微分的等式称为微分方程。

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。

未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程。

常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

定义（2）

微分方程中所出现的未知函数的导数或微分的最高阶数称为微分函数的阶。满足微分方程的函数称为微分方程的解。求一个微分方程的解的过程称为解微分方程。

定义（3）

如果常微分方程的解中含有独立的任意常数（“独立”指不能将不同的常数合并），且独立的任意常数的个数与方程的阶相同，则这样的解称为方程的通解；不含任意常数的解称为特解。

由通解确定通解时，通常需要一些函数值和导数值，这些已知的函数值和导数值称为方程的初值或初始条件，把微分方程和其初值合到一起，称为微分方程的初始问题。

来源历史

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=ƒ(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。

从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。 第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。第二，当人们要明确通解的意义的时候（在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题）就会碰到严重的含糊不清之处，达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。这主要发生在偏微分方程的研究中。第三，微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。早期由于外弹道学的需要，以及40年代由于高速气动力学研究激波的需要，拟线性一阶双曲组的间断解的研究更得到了重大发展，苏联和美国学者作出了贡献。泛函分析和偏微分方程间的相互联系,相互促进发展,首先应归功于法、波、苏等国学者的努力。

中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。

分类

微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。

常微分方程及偏微分方程

常微分方程

（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变量的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：

f//left(x, //frac{d^n y}{dx^n},//frac{d^{(n-1)} y}{dx^{(n-1)}},//cdots, //frac{dy}{dx}, y//right)=0

常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变量导数的最高阶数:p.3，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：

x^2 //frac{d^2 y}{dx^2} + x //frac{dy}{dx} + (x^2 – //alpha^2)y = 0

（其中y为应变量）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。

偏微分方程

（PDE）是指一微分方程的未知数是多个自变量的函数，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双

曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。像以下的方程就是偏微分方程：

//frac{//partial u}{//partial t} + t//frac{//partial u}{//partial x} = 0。

线性及非线性

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。

若微分方程中没有出现未知数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现未知数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。

齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。

若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程:p.315-316，因此简化求解的过程。

针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的适定性问题，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中，其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性，都是探讨纳维－斯托克斯方程式其解的数学性质，至2012年8月为止此问题尚未被证明。

线性微分方程常常用来近似非线性微分方程，不过只在特定的条件下才能近似。例如单摆的运动方程为非线性的微分方程，但在小角度时可以近似为线性的微分方程。

举例

以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

非齐次一阶常系数线性微分方程：

//frac{du}{dx}=cu+x^2.

齐次二阶线性微分方程：

//frac{d^2u}{dx^2} – x//frac{du}{dx}+u = 0.

描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：

//frac{d^2u}{dx^2}+//omega^2u = 0.

非齐次一阶非线性微分方程：

//frac{du}{dx}=u^2+1.

描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：

L//frac{d^2u}{dx^2}+g//sinu =0.

以下是偏微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x及t或者是x及y。

齐次一阶线性偏微分方程：

//frac{//partial u}{//partial t} + t//frac{//partial u}{//partial x} = 0.

拉普拉斯方程，是椭圆型的齐次二阶常系数线性偏微分方程：

//frac{//partial^2 u}{//partial x^2} + //frac{//partial^2 u}{//partial y^2} = 0.

KdV方程，是三阶的非线性偏微分方程：

//frac{//partial u}{//partial t} = 6u//frac{//partial u}{//partial x} – //frac{//partial^3 u}{//partial x^3}。

性质

普遍性的数学描述

许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式。在生物学及经济学中，微分方程用来作为复杂系统的数学模型。微分方程的数学理论最早是和方程对应的科学领域一起出现，而微分方程的解就可以用在该领域中。不过有时二个截然不同的科学领域会形成相同的微分方程，此时微分方程对应的数学理论可以看到不同现象后面一致的原则。

例如考虑光和声音在空气中的传播，以及池塘水面上的波动，这些都可以用同一个二阶的偏微分方程来描述，此方程即为波动方程，因此可以将光和声音视为一种波，和水面上的水波有些类似之处。约瑟夫·傅立叶所发展的热传导理论，其统御方程是另一个二阶偏微分方程－热传导方程式，扩散作用看似和热传导不同，但也适用同一个统御方程，而经济学中的布莱克-休斯方程也和热传导方程有关。

微分方程的解

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x)//,（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：

//frac{dy}{dx}=//sinx，的解是y=-//cosx+C，其中C是待定常数；

例如，如果知道y=f(//pi)=2，则可推出C=1，而可知y=-//cosx+1，

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0

可知其通解：y=C(x)e^{-//int p(x)//, dx}

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值

二阶常系数齐次常微分方程

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

对于方程：y''+py'+qy=0

可知其通解：y=c_1 y_1+c_2 y_2

其特征方程：r^2+pr+q=0

根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解

一般的通解形式为 （在//begin{smallmatrix} r_1 = r_2 //end{smallmatrix}

的情况下）:y=(C_1+C_2 x) e^{r x}

（在//begin{smallmatrix} r_1//ne r_2 //end{smallmatrix}的情况下）:y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}

（在共轭复数根的情况下）：y=e^{//alpha x} (C_1 //cos (//beta x) + C_2 //sin (//beta x))

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

解的存在性及唯一性

存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。

针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

应用

平面二次曲线方程含有五个参数，两端对x求五次微商，连同原方程共得六个方程,消去参数就得到微分方程

(1)又如曲面变形论提出了微分方程组

(2)几何学提出的微分方程很多。（J.-）G.达布的《曲面一般理论教程》一直是这方面值得参考的书。

变分学中令积分取极值的必要条件欧拉方程一般是非线性微分方程（或组）。

刚体力学的基本方程就是一个微分方程组。流体力学的基本方程就是所谓纳维-斯托克斯方程，弹性力学的方程一般是高阶方程。电磁学提出了著名的拉普拉斯方程/n

光学和声学提出了波动方程/n

热学提出了热传导方程/n

量子力学中提出了薛定谔方程/n

发展过程

从理论上讲，若已知方程的通解，则只需选择其中的任意元素使之满足定解条件即可得出定解问题的解。而实际上这种选择往往是非常难的，更不用说求得通解的困难了。相反地，如果把出现在定解条件中的数据或多或少地变动一下都能求得方程的一个解，那么把这些数据作尽可能地变动时就可能求得方程所有的解即通解。就是采取了这种观点，柯西和K.（T.W.）外尔斯特拉斯几乎同时证明了常微分方程通解的存在性，而偏微分方程也从此得到了迅速的发展。

定解问题的定义和要求方程（或称泛定方程）

是加在含m个自变量x1，x2，…,xm的未知函数u及其各阶偏微商上的一个关系，即若把u和由它而得的它的各阶偏微商（至少是方程中出现的）都代入F中,则所得结果对于R中的某区域Ωm的所有内点x1，x2，…，xm来说，都要求恒等于零；但对于Ωm的边界点来说,并不作这样的要求。

至于定解条件当xm=0时/n

则是在R中(m-1)维流形xm=0上被满足的。这时，xm=0就称为支柱。xm=0有时是Ωm中的一个(m-1)维流形，有时就是Ωm的边界дΩm或дΩm的一部分。所谓当xm=0时有/n

就是在Ωm内当xm＝0附近任一点沿任一曲线趋近于xm＝0上任一点(x嬼，x嬽,…,x圛)时,u趋近于u0(x嬼,x嬽,…,x圛)。在这种理解下,P.班勒卫指出了这时u0(x1,x2,…,xm-1)应是连续的。定解条件

当xm=0时，

当然也应是在R中一(m－1)维流形xm=0上被满足的。这时,xm=0仍被称为支柱,但对微商取值的理解有两种：一是把它看作当xm趋近于0时

的极限。二是把它看作

当xm趋近于0时的极限。显然，若第二种理解成立则第一种理解必然成立。反之则不尽然。应该指出，也可以用

或

或更一般地用R中任何一个(m-1)维流形来代替xm=0，它们这时也都被称为支柱。对函数取值和微商取值若要作上述理解，还需对支柱作必要的正规要求，例如支柱至少是一个若尔当流形等等。

由于一阶常微分方程的一般形式是F(x,y,y┡)=0，要应用柯西定理，就必需应用隐函数理论解出y┡。在不满足隐函数定理的条件的情况，常常就是产生奇解的情况。克莱罗方程就是一个最简单的例子。定解问题研究的开展，大大帮助了对奇解的了解。

柯西提出定解问题的时代也是复变函数论开始蓬勃发展的时代，“两个实域真理间的最短途径时常是通过一个复真理的”影响，这是当时特别流行的说法，复域里常微分方程理论（即复解析理论）得到了发展。从推广柯西定理的布里奥-布凯定理，从（J.-）H.庞加莱的工作到班勒卫、J.马尔姆奎斯特等人的工作，最引人注目的是在线性方程方面，从I.L.富克斯的结果开始一直到庞加莱的自守函数理论已很完整。但是在非线性方面显然没有取得如此令人满意的成果，其原因可能是多复变函数的奇点理论和解析开拓尚有待发展。

二阶常微分方程的柯西问题

不是泛定方程（E2）惟一可以提出的定解问题。人们还可以提出如下的边值问题（相当于二阶偏微分方程的狄利克雷问题）：

(D1)：/n

这两个问题均可归结为线性积分方程。前者可归结为第二种沃尔泰拉积分方程，后者则是第二种弗雷德霍姆积分方程。沃尔泰拉方程可以看作弗雷德霍姆方程的特例，但不同的是后者有本征值、本征函数问题，而前者没有。边值问题和由它而引起的本征值、本征函数问题，不仅有理论上的价值,为人们提供很多特殊函数,而且有实用价值（特征值问题在大型建筑中必需考虑到）。

在椭圆型偏微分方程的边值问题中同样也引起本征值和本征函数问题。

在柯西的倡导下，人们从“求通解”的时代进入了“求解定解问题”的时代,随着庞加莱的定性理论,常微分方程又从“求解定解问题”的时代进入“求所有解”的时代。

稍后，D.伯克霍夫在动力系统方面开辟了一个新领域。近年来，由于拓扑方法的渗入，更加得到发展。苏联Α.М.李亚普诺夫在运动稳定性方面的工作,对天文学、物理学以及工程技术有广泛应用，极受重视。

此外，在考虑时滞问题时，人们还创立了差分微分方程。近年来，泛函微分方程有很大发展。泛函微分方程是差分微分方程的推广。

柯西曾把他有关常微分方程方面的结果推广到一阶偏微分方程组的柯西问题，但他在偏微分方程中所考虑的方程并没有象在常微分方程中所考虑的方程那样有代表性。因此，后来又引进了模组的概念，柯西和稍后的柯瓦列夫斯卡娅都用长函数法证明了模组柯西问题的解析解是惟一存在的。模的概念显然依赖于支柱。从而引入了特征的概念。应特别注意，有些组的特征表达式A能恒等于零，其中有些方程组是比较重要的，例如方程(2)就是这样的,广义相对论的基本方程组也是这样的。

20世纪初才由霍姆格伦在方程是非重特征的、系数是解析的、支柱是解析的而非特征的条件下，证明了解的惟一性。阿达马指出，只要能在方程是非重特征的、系数是非解析的、支柱是非特征的条件下证明霍姆格伦定理，则该定理在方程是非重特征的、非线性的、非解析的、支柱是非特征的条件下仍是正确的。至于连续依赖性则并不成立，阿达马的著名例子就说明这个问题。

阿达马分析了他以前和当时的有关线性二阶偏微分方程的工作，紧紧抓住“形式相似的方程却有迥然不同的适定问题”这个矛盾，反复论证，终于发现了长期未被注意的事实，即柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理在方程、支柱和数据有一非解析时是不真的。例如Δu=0在支柱z=0的柯西问题在数据不都是解析时未必是有解的。诚然，双侧的解（即z≤0和z≥0时都存在的解）不存在，因为根据杜恩定理，若存在，则两个数据必然都是解析的。单侧的解也不存在,因为否则用照像法(实际上是一种解析开拓)，则双侧解也将存在，但解析方程/n

解析支柱t=0、非解析数据的柯西问题却是实际中提出的,理论证明是适定的。

阿达马提出了基本解。这不仅是他对前人工作的总结，而且从他本人以前的成就也必然得到这个重要概念。有了基本解，模双曲型方程的柯西问题的解,只要支柱是空向的,已给数据适当正规，就可以用一个发散积分的有限部分来表示；椭圆型方程就可以形成势代表解，并通过这个势满足的弗雷德霍尔姆型积分方程求得狄里克雷问题的解。间接地求抛物型方程的基本解的步骤也是阿达马提出来的。他有一句名言：“所有线性偏微分方程问题应该并且可以用基本解来解决。”

在V.沃尔泰拉暗示下，G.F.特里科米进行了混合型方程的所谓特里科米问题的研究。所谓混合型方程，是指在蜕型线L一侧是椭圆型，在另一侧是双曲型的方程；1927年特里科米证明了解的存在性。虽然苏联学者C.A.洽普雷金在V.沃尔泰拉之前已在射流理论中提出更一般的混合型方程即洽普雷金方程，但只有在40年代由于超音速飞机的制造，在跨音速气动力学中这类方程才大受重视。M.H.普罗特尔证明了洽普雷金方程特里科米问题的解的惟一性，苏联学者A.B.比察泽也在这方面做了大量有意义的工作。由于渗流的研究，促进了拟线性退缩抛物型方程的研究发展，苏联学者为此作出了贡献。

发展中产生的问题

一个方程或方程组的定解问题一旦提出，就产生下列三个问题。

①存在性问题，即这个定解问题是否有解。

②惟一性问题,即其解是否惟一。

③连续依赖性问题,即解是否连续依赖于数据，亦即是否是数据的某阶连续泛函。

若定解问题的解是存在的、惟一的、连续依赖于数据的，则这个定解问题称为适定的。对它就可以进行计算。一般而言，只有适定问题计算才有意义。这样，微分方程的研究成果才能为实际所应用。

如果对上述三个问题的回答有一个是否定的，这个定解问题就称为不适定的。一般，不适定问题是原来用来刻画实际规律的数学模型不恰当，必须另建合适的数学模型。不适定问题也是需要研究的，这种研究有时会导致理论上的新发展。

定解问题研究的发展对常微分方程最早提出的定解问题是柯西问题(C)：/n

柯西问题(C)是适定的，其根据是柯西定理：若ƒ(x,y)在｜x-x0｜≤α,｜y-y0｜≤b上连续，并满足李普希茨条件/n

则柯西问题(C)在满足条件下,存在惟一的连续依赖于y0的连续解。由于泛定方程的任一解当x=x0时总要取一个值y0,因此就可以提出柯西问题(C)。由于惟一性，这个柯西问题的解一定就是所考虑的解,所以柯西问题(C)的解就是泛定方程的“通解”。/n

柯西利用L.欧拉早就提出的近似解法（所谓欧拉折线法）证明了当折线边数无限增加、边长无限缩小时，这些折线有一极限即(C)的惟一连续依赖于y0的解。这个方法称为柯西-李普希茨方法。若取消李普希茨条件,则用阿尔泽拉定理仍能证明解的存在性，但不能证明惟一性和连续依赖性。可见李普希茨条件的作用只在于保证解的惟一性。逐次逼近法导源于代数方程近似解法，刘维尔首先把它用于解沃尔泰拉积分方程,(C.-)É.皮卡才把它广泛应用于解常微分方程柯西问题(C)上,首先把柯西问题变为非线性沃尔泰拉积分方程，然后用逐次逼近法求解，结果完全和欧拉折线法的一样。