斐波那契数列（意大利语:SuccessionediFibonacci)，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列列由0和1开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。特别指出：0不是第一项，而是第零项。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

通项公式

递推公式

斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：

显然这是一个线性递推数列。

黄金分割

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）

1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666…，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889……

越到后面，这些比值越接近黄金比.

与黄金分割的证明

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

两边同时除以a[n+1]得到：

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，

则lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以极限是黄金分割比。

相关特性

平方与前后项

从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1。

如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

与集合子集

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,…,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

求和

奇数项求和

偶数项求和

平方求和

加减求和

和项数公式

奇数项与某两项的平方

偶数项与某两项的平方

隔项关系

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)[n〉m≥-1，且n≥1]

两倍项关系

f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)